¿Debería haberme llevado tres páginas para probar esto?

Question

Estoy en una clase introductoria de álgebra lineal y quería probar que todas las bases de un espacio dado son de igual cardinalidad. Como un paso hacia eso, probé lo siguiente:

Deje que $A$ ser un conjunto finito de vectores en un espacio vectorial $V$ . Entonces no hay un conjunto lineal independiente $B \subseteq Span(A)$ con $|B| > |A|$ .

Usando sólo las siguientes suposiciones, la prueba me llevó tres páginas (a unas 300 palabras por página):

1. Que una operación que definí durante la prueba es asociativa y distributiva.
2. Que $ \mathbb {K}^n$ es un espacio vectorial con una base de cardinalidad $n$ .
3. Un subconjunto de un conjunto de vectores linealmente independientes es linealmente independiente.
4. La relación "A genera B" sobre subconjuntos de un espacio vectorial es transitiva.

Y posiblemente una o dos otras suposiciones triviales que no noté. No me basé en ninguna otra definición o teorema. El punto es, ¿debería haberme llevado tres páginas? ¿O me perdí una técnica de prueba mucho más corta y simple? Lo siento si esta es una pregunta un poco suave, veo a mi profesor de LinAlg una vez a la semana y es un tipo ocupado.

Answer 1

Ok, con el comentario añadido por el OP creo que ahora lo entiendo mejor. Tenemos lo más fácil

Reclamación: Si $\,A\,$ es un conjunto de vectores linealmente independientes (=l.i.) en algún espacio lineal $\,V\,$ , entonces para $\,v\in V\,$ tenemos que

$$v\in\operatorname{Span}\{A\}\Longleftrightarrow A\cup\{v\}\,\,\text{is not l.i.} $$

Con la afirmación anterior su proposición se deduce de inmediato, ya que cualquier vector generado por $\,A\,$ se encuentra en el tramo de $\,A\,$ y por lo tanto es lineal dependiente en elementos de $\,A\,$ . En particular, el número de elementos linealmente independientes en el tramo de $\,A\,$ no puede ser mayor que la cardinalidad de $\,A\,$ ....