Estoy haciendo mi primer curso de análisis real y estoy tratando de entender mejor las funciones analíticas. Tengo entendido que una función analítica es aquella que se puede escribir como una serie de potencias. Entiendo que una serie de potencias es una de la forma $\sum_n a_nx^n$ . Estaba pensando en las series de Fourier y estoy bastante seguro de que no se ajustan a esta forma.
Tengo un poco de curiosidad sobre estas series trigonométricas. ¿Son analíticas? No se ajustan a la forma $\sum_n a_nx^n$ . Si lo son, o pueden serlo, ¿cuáles son las circunstancias que lo hacen?
Mi gran pregunta es, ¿qué tipo de funciones no son analíticas? Conozco ejemplos como la función de valor absoluto y demás, pero ¿por qué EXACTAMENTE no se pueden representar como series de potencias? ¿Tiene que ver con la suavidad? Y dada una que no es analítica en todo R -como, supongo, una serie de Fourier con puntos agudos-, ¿cómo se puede representar un trozo suave de la misma en la forma $\sum_n a_nx^n$ ?
