Integral

Question

Estoy buscando para calcular$a\int_{-\infty }^{\infty } \frac{e^{\frac{x^2}{a^2+x^2}}}{a^2+x^2} \,\operatorname dx$.

Mathematica10 no puede integrar esto, pero la integración numérica da una respuesta de 5.50843 para cualquier$a$ que he intentado, por lo que supongo que se debe encontrar una respuesta analítica.

¿Es esta una integral estándar?

Muchas gracias,

Answer 1

Sub$x=a \tan{\theta}$ y la integral se convierte en

PS

que es de hecho una integral estándar, igual a$$\sqrt{e} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\theta \, e^{-\frac12 \cos{2 \theta}}$, donde$\pi \sqrt{e} I_0(1/2) \approx 5.50842977...$ es la función Bessel modificada del primer tipo de orden cero.