Convergencia de la integral múltiple en$\mathbb R^4$

Question

Indica$(x,y,z,w)$ las coordenadas euclidianas en$\mathbb R^4$. Estoy tratando de estudiar la convergencia de la integral$$\int \frac{1}{(x^2+y^2)^a}\frac{1}{(x^2+y^2+z^2+w^2)^b} dx\,dy\, dz\, dw$ $ sobre un disco (o cubo, o cualquier conjunto abierto) que contenga el origen en términos de los parámetros reales$a>0$ y$b>0$. Si es necesario, podemos asumir que$b$ es fijo y obtener un límite en$a$ en términos de$b$.

¿Alguien tiene una idea de cómo podría proceder? Intenté usar coordenadas cilíndricas (en$(x,y)$ y$(z,w)$ por separado) pero no pude llegar a ninguna parte.

Gracias de antemano.

Answer 1

Como sugiere DiegoMath, el uso de coordenadas polares para$(x,y)$ y$(z,w)$ es eficiente, más precisamente, defina$$(x,y,z,w):=(r\cos\theta,r\sin\theta,s\cos\phi,s\sin\phi).$ $ Entonces la integral$$I(a,b):=\int_{B(0,1)} \frac{1}{(x^2+y^2)^a}\frac{1}{(x^2+y^2+z^2+w^2)^b} dx\,dy\, dz\, dw$ $ converge si y solo si la integral$$\int_0^1\int_0^1 \frac{rs}{r^{2a}(r^2+s^2)^b}\mathrm ds\mathrm dr$ $ converge. Usando nuevamente coordenadas polares, esta vez con$(r,s)$, es decir,$r=R\cos t$,$s=R\sin t$, derivamos que$I(a,b)$ converge si y solo si $$\int_0^1\int_0^{2\pi}\frac{R^3\cos t\sin t }{R^{2a+2b}(\cos t)^{2a}} \mathrm dt\mathrm dR .$% $ One puede calcular explícitamente la integral en$t$ en$(0,2\pi)\setminus (\pm\pi/2-\delta,\pm\pi/2+\delta)$ para obtener una condición en$a$; la integral en$R$ produce una condición en$a$ y$b$.