Encuentra la función generadora de la secuencia (0,1,0,3,0,5, ...)

Question

Encuentra la función generadora de la secuencia (0,1,0,3,0,5, ...)

No puedo conceptualizar esto y sé que debería ser fácil porque es solo una probabilidad, pero me cuesta mucho descubrir cómo cancelar los términos pares.

Estaba pensando como k$x^k$ pero eso no cancela los eventos.

Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

$G(x)=x+3x^3+5x^5+...=x(1+3x^2+5x^4+...)= xF'(x),$ donde$$F(x)=x+x^3+x^5+...=\frac{x}{1-x^2}$ $ Estoy seguro de que puedes terminar desde aquí.

Answer 2

\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} (2i+1)x^{2i+1} =\frac{x}{1-x^2}+\frac{2x^3}{(1-x^2)^2} = \frac{x+x^3}{(1-x^2)^2}. \end {eqnarray *}

Answer 3

La respuesta es simple. Solo iterar para x = 0 a infinito y el término xth es

 f(x) = (x%2)*x
 

Donde% es el operador de módulo que devuelve el resto de los dos operandos

Aquí x% 2 cancela todos los términos pares dejando atrás todos los términos impares