Probabilidad de una determinada contraseña

Question

Una contraseña consiste en 4 letras del alfabeto y 4 números. Calcula las dos siguientes probabilidades:

1. $p_1$ la probabilidad de que las letras sean todas iguales y que la parte numérica contenga un ocho.
2. $p_2$ la probabilidad de que la contraseña tenga 3 números seguidos de 4 letras.

Aunque suena como una pregunta fácil, pero ¿cómo aplicaría la definición de permutaciones y combinaciones aquí? Así es como pensé en resolverlo.

$p_1= (1/21)^4*(1/10)*(9/10)^2$

¿Necesito calcular todas las combinaciones posibles aquí?

$p_2= 1/ \binom {7}{7}=1/7!/(7-7)!= 1/7!$

ya que estamos considerando sólo un caso entre una permutación de 7 elementos sobre 7 lugares.

Answer 1

Supongamos que cada símbolo de la contraseña ocupa uno de $8$ cajas numeradas. Primero se elige $4$ de la $8$ cajas para poner las letras, y cada elección le da $26^4$ posibles configuraciones de letras. Ahora, en el resto de $4$ cajas se colocan los dígitos, y cada elección le da $10^4$ posibles configuraciones de dígitos. Por lo tanto, el número total de contraseñas es $$\binom{8}{4} \times 26^4 \times \binom{4}{4} \times 10^4 \, .$$ Para la contraseña con las letras iguales y un dígito $8$ de la $8$ cajas que elija $4$ para poner las letras, y cada elección te da $26$ posibles configuraciones de letras. De las restantes $4$ cajas que elija $3$ para poner dígitos, y cada elección le da $10^3$ configuraciones de dígitos. En la última casilla restante se pone el dígito $8$ , lo que nos da $$\binom{8}{4} \times 26 \times \binom{4}{3} \times 10^3 \times \binom{1}{1} \times 1$$ paswords. Supongo que podemos tener más de un dígito $8$ .

P.D. Para el problema simplificado de Huber, el número de contraseñas posibles es $$\binom{4}{2} \times 1 \times \binom{2}{2} \times 2^2 = 24 \, .$$