Estoy leyendo y disfrutando de la "generafuncionología". Es un libro muy divertido.
Pero, estoy teniendo algunas dificultades con los ejercicios. Por ejemplo, tome la serie $a_n = n^2$ Me gustaría encontrar la función de Generación, $S(x)=\sum\limits_{n=0}^N a_n x^n = 0+1x^1+ 4x^2 + 8x^3 + \cdots$ utilizando el método del libro. Así, encuentro una fórmula recursiva para $a_{n+1}=a_n + 2n +1$ entonces multiplique en ambos lados por $x^n$ y sumo sobre n. A continuación reemplazo cada instancia de $S(x)$ Puedo encontrar con " $S(x)$ " y luego resolver para $S(x)$ .
$$\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1}x^n = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} 2n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} x^n$$
Pero, esto es justo:
$$\frac{S(x)- a_0}{x} = S(x) + 2 \frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x}$$
Pero, cuando resuelvo para S(x) obtengo $S(x) = \dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ pero la solución en el libro es $(xD)^2\left(\dfrac{1}{1-x}\right)$ . Y $(xD)^2\left(\dfrac{1}{1-x}\right) = -\dfrac{x(1+x)}{(1-x)^3}$ .
Dos preguntas:
- ¿Por qué me equivoco de signo?
- ¿Cómo puedo saber que mi respuesta se puede escribir en términos de operadores diferenciales como ese? ¿Tal vez hay una mejor manera de resolver que me daría operadores diferenciales de inmediato?
Gracias.
