Demuestra esta geomtría dura con $HI=HP$

Question

Sea $ABC$ sea un triángulo con incentro $I$ y supongamos que $AI$ , $BI$ y $CI$ intersect $BC$ , $CA$ y $AB$ en $D$ , $E$ y $F$ respectivamente. Sean las circunferencias de $BDF$ y $CDE$ se cruzan en $D$ y $P$ y que $H$ sea el ortocentro de $DEF$ . Demostrar que $HI=HP$

Llevo mucho tiempo dándole vueltas a esta pregunta del examen de geometría, pero aún no la he hecho. Esta pregunta me la dio un amigo mío. Según él, era la última pregunta de una prueba del concurso

Answer 1

Este es el tipo de problema al que uno se siente tentado de aplicar la violencia de las coordenadas baricéntricas.
El ortocentro del triángulo incentral es $X(500)$ sus coordenadas trilineales/baricéntricas vienen dadas por polinomios de grado $6/7$ en $a,b,c$ . Las coordenadas trilineales/bicéntricas de $I$ son simplemente $[1;1;1]/[a;b;c]$ y basta con encontrar las coordenadas trilineales/bicéntricas de $P$ y que un CAS compruebe que $P+I=2H$ . Las coordenadas baricéntricas de $P$ se puede hallar considerando que $\frac{BF}{BD}=\frac{b+c}{b+a}$ y que $PD$ es el eje radical de dos circunferencias con centros conocidos.

Por otra parte, estoy de acuerdo en que " un CAS puede resolver esto con muy poca formación "no es una respuesta satisfactoria.