Entero matrices con determinante igual a $1$

Question

Entero matrices con determinante igual a $1$ son muy útiles en muchas situaciones. Tomemos, por ejemplo, a esta pregunta. Para el $2 \times 2$ de los casos, es fácil encontrar muchas de estas matrices, por ejemplo,

$$\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix}$$

$$\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 5 & 4 \\ \end{bmatrix}$$

• Pero, ¿cómo construir el procedimiento para la generación de matriz de enteros con elegido de forma arbitraria dimensión $n \times n$?
• Es un método que es tan general como es posible?
• Yo también estoy interesado en la respuesta ¿cuántos grados de libertad tiene una entero de la matriz con determinante igual a 1 (o a otros quizás número) ? Sin determinante restricción $n \times n$ matriz de curso $n^2$ grados de libertad.. ¿cuántos se pierden cuando nos limitan con determinante?

Answer 1

Usted puede empezar con la matriz de identidad y aplicar transformaciones que no cambia el determinante:

1. Añadir a la columna (fila) otra columna (fila) multiplicado por un número entero.
2. La realización de una incluso permutación de las columnas (filas).

Hart a decir lo que es los grados de libertad de un conjunto discreto. Su dimensión es cero. Pero puedes pensar que es un corte de todas las $n^2$ dimensiones que tenía por una ecuación. Por eso, $n^2-1$.

Answer 2

Para motivar lo que podría decirse acerca de los "grados de libertad" en el más general de la $n\times n$ de los casos, echemos un vistazo a la $2\times 2$ caso en detalle.

Uno podría informalmente decir que los grados de libertad en el especial lineales grupo $SL(2,\mathbb{Z})$ tiene un sentido intuitivo de "el número de coordenadas necesarias para especificar una instancia".

Esta es una firme noción cuando las coordenadas de los involucrados son los números reales que cuando, como en este caso, las coordenadas son sólo discretos números enteros. El problema está relacionado con la posibilidad de que un par de enteros puede ser codificado como un solo número entero, por lo que el recuento "¿cuántos coordenadas son necesarios" se vuelve confusa. En el caso de los números reales que somos salvos por la imposición de un requisito de que cualquier "codificación" se requiere la participación de funciones continuas (en una adecuada dominio restringido) que están continuamente invertible (decodificación). Esto evita que un par de números reales se combinan en un único número real.

Reconociendo que estamos caminando en un terreno resbaladizo, vamos a considerar un par de "formas naturales" para parametrizar $SL(2,\mathbb{Z})$. La primera consiste en hacer un arbitray elección de las dos diagonales de las entradas de $a,d$:

$$ \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$

Puesto que deseamos que $ad - bc = 1$, tenemos (con el fin de obtener un elemento de $SL(2,\mathbb{Z})$) sólo a resolver:

$$ bc = ad - 1 $$

Aparte de la peculiar caso de que $ad = 1$ (en el que se admite un número infinito de soluciones $b,c$, siempre que al menos uno de ellos es cero), nos encontramos con que no va a ser sólo un número finito de $b,c$ "factor" $ad - 1$.

Esto parece decir que hay (a grandes rasgos) de dos grados de libertad, ya que (con las dos excepciones $a = d = \pm 1$) los valores de $a,d$ puede ser elegido arbitrariamente y dejar un número finito de otras "opciones" (acerca de las formas de $ad - 1$ factor).

Por otra parte, podríamos comenzar con la elección de $a$$b$. Ahora las opciones válidas son aquellos pares de $a,b$ cuales son coprime (ningún divisor común mayor que uno). Aunque no todos los pares satisfactorio en este sentido, la fracción relativa de coprime pares de $a,b$ en una expansión de la región de $[-M,M]\times [-M,M]$ $M\to \infty$ converge a $6/\pi^2$, que es aproximadamente el $61\%$.

Así que de nuevo parece que la elección de $a,b$ requiere de dos grados de libertad. Además, como $a,b$ son coprime, existen coeficientes de $c,d$ tal que $ad-bc=1$. A continuación, podemos introducir un entero coordinar $k$ porque:

$$ \det \begin{bmatrix} a & b \\ c+ak & d+bk \end{bmatrix} = 1 $$

Por este cálculo tendríamos tres grados de libertad a nuestra disposición!