Límite de una secuencia :

Question

¿Cómo puedo calcular el siguiente límite

$$ \lim_{ n\rightarrow \infty }{ { \left (\frac { \sqrt [ n ]{ a } +\sqrt [ n ]{ b } +\sqrt [ n ]{ c } +\sqrt [ n ]{ d } }{ 4 } \right ) }^{ n } } $$

$a,b,c,d\geq0$

Gracias.

Answer 1

Deje $n=\dfrac{1}{m}$ y tenemos:

$$\lim_{m\to 0}\left(\frac{a^m+b^m+c^m+d^m}{4}\right)^{\frac{1}{m}}$$

Esta realidad es la media geométrica de $a,b,c,d$.

Prueba: tomando logaritmos, se investiga:

$$\lim_{m\to 0}\dfrac{1}{m}\ln\left(\frac{a^m+b^m+c^m+d^m}{4}\right)$$

El uso de l'Hospital del tratamiento de la $m$ como una variable:

$$\lim_{m\to 0}\left(\frac{\ln a\cdot a^{m}+\ln b\cdot b^{m}+\ln c\cdot c^{m}+\ln d\cdot d^{m}}{4}\right)\left(\frac{4}{a^{m}+b^{m}+c^{m}+d^{m}}\right)$$

$$=\dfrac{1}{4}(\ln a+\ln b+\ln c+\ln d)=\ln (abcd)^{\frac{1}{4}}$$

Exponentiate y obtenemos el resultado deseado:

$$\lim_{m\to 0}\left(\frac{a^m+b^m+c^m+d^m}{4}\right)^{\frac{1}{m}}=(abcd)^{\frac{1}{4}}$$

Answer 2

El uso de la primaria límites de $\lim_{n\to\infty} (1+1/n)^n=e$$\lim_{x\to 0} (a^x-1)/x=\ln a, \space a>0$, obtenemos

$$\lim_{ n\rightarrow \infty }{ e^{ \left (\displaystyle n \frac { \sqrt [ n ]{ a } +\sqrt [ n ]{ b } +\sqrt [ n ]{ c } +\sqrt [ n ]{ d }-4 }{ 4 } \right ) } }={ e^{\displaystyle \frac{1}{4}\lim_{ n\rightarrow \infty } \sum_{abcd} (t^{1/n}-1)/(1/n)}}=(abcd)^{\frac{1}{4}}.$$

Q. E. D.