Cómo calcular un ángulo sólido (en estereorradianes) dados sólo los datos del ángulo del rayo horizontal y del ángulo del rayo vertical.

Question

Me gustaría convertir una forma de rayo rectangular dada en el ángulo del rayo horizontal y vertical, en un ángulo sólido que represente la superficie en estereorradianes de la luz proyectada. Por ejemplo, una proyección de luz que tiene un haz de 120° H por 5° Vertical.

Sería útil si esto pudiera ser representado en una forma geométrica que pueda ser utilizada en una hoja de cálculo de Excel que permita introducir un ángulo del haz horizontal y un ángulo del haz vertical y luego obtener el área en estereorradianes. Teniendo en cuenta que una esfera tiene 4pi sr y un hemisferio es 2pi sr me estaba acercando a esto por ejemplo arriba que 120°=3.1414 sr o 1/3 de una esfera, y 5°= 0.00597 sr, pensé que si hay 120 secciones de 5° verticales esto se convierte en un área total de 0.7164 sr. Entonces segunda conjetura pensé que sólo hay 24 secciones verticales que son 5 grados de ancho en el área horizontal total de 120° área. Eso da como resultado sólo 0,1435 sr que parece increíblemente pequeño. Llegué a la conclusión de que necesito ayuda y encontré este foro tratando de encontrar la solución.

He revisado muchas preguntas que son similares. Este es mi primer post, y agradecería cualquier ayuda y orientación para intentar averiguar en qué me he equivocado en la aplicación. Gracias de antemano

Answer 1

Consideremos una viga de perfil rectangular con ángulos horizontales y verticales $\theta_{H}$ & $\theta_{V}$ emitido por una fuente puntual uniforme S (como se muestra en la figura siguiente). Consideremos entonces un plano rectangular imaginario con centro O, longitud $l$ y ancho $b$ a una distancia normal $h$ desde la fuente puntual S, entonces el ángulo sólido ( $\omega$ ) por el plano rectangular en el punto-fuente S viene dado por $$\omega=4\sin^{-1}\left(\frac{lb}{\sqrt{(l^2+4h^2)(b^2+4h^2)}}\right)$$ (Nota: Para la derivación de la fórmula anterior, consulte Teoría del polígono de HCR )

Uso de la geometría en el derecho $\Delta SOP$ de la figura, obtenemos $$l=2h\tan\frac{\theta_{H}}{2}$$ Del mismo modo, en la derecha $\Delta SOM$ obtenemos $$b=2h\tan\frac{\theta_{V}}{2}$$

Ahora, sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos $$\omega=4\sin^{-1}\left(\frac{2h\tan\frac{\theta_{H}}{2}2h\tan\frac{\theta_{V}}{2}}{\sqrt{\left(\left(2h\tan\frac{\theta_{H}}{2}\right)^2+4h^2\right)\left(\left(2h\tan\frac{\theta_{V}}{2}\right)^2+4h^2\right)}}\right)$$ $$=4\sin^{-1}\left(\frac{\tan\frac{\theta_{H}}{2}\tan\frac{\theta_{V}}{2}}{\sec\frac{\theta_{H}}{2}\sec\frac{\theta_{V}}{2}}\right)=4\sin^{-1}\left(\sin\frac{\theta_{H}}{2}\sin\frac{\theta_{V}}{2}\right)$$ Dónde, $0\leq\theta_{H}, \theta_{V}\leq\pi$

Si $\theta_{H}, \theta_{V}>\pi$ aplicar la siguiente fórmula para calcular el ángulo sólido $$\omega=4\pi-4\sin^{-1}\left(\sin\frac{\theta_{H}}{2}\sin\frac{\theta_{V}}{2}\right)$$

(Nota: Para una explicación más detallada, consulte Radiometría y Fotometría por H.C. Rajpoot )

Según los valores numéricos proporcionados en su pregunta, el ángulo sólido $\omega$ (es decir, la superficie cubierta \intercepted por la forma del haz rectangular en una superficie esférica unitaria), subtendida por la forma del haz rectangular con ángulos horizontales y verticales del haz $\theta_{H}=120^o=\frac{2\pi}{3}$ & $\theta_{V}=5^o=\frac{\pi}{36}$ en la fuente puntual S, viene dada por $$\omega=4\sin^{-1}\left(\sin\frac{\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{36}}{2}\right)=4\sin^{-1}\left(\sin\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{72}\right)\approx 0.15113795 \space sr$$