Un surjective lineal mapa en un número finito de dimensiones del espacio está abierto

Question

Estoy en busca de pruebas diferentes de la siguiente proposición:

$\bf{Proposition}$: Supongamos $X$ $Y$ ser topológicos, espacios vectoriales, $\text{dim }Y<\infty$, e $\Lambda:X\to Y$ es un surjective lineal mapa. A continuación, $\Lambda$ está abierto.

Cualquier y todas las pruebas son bienvenidos.

Answer 1

Gracias a Danielsen para la captura de un error en mi anterior prueba.

Cómo acerca de este enfoque: Vamos a $e_i$ ser vectores de la base de $\mathbb{K}^n$ (es decir, $Y$), y elija $x_i \in X$ tal que $\Lambda x_i = e_i$. Ahora, considere el mapa de $\phi: \mathbb{K}^n \to X$ dada por $\phi(\alpha) = \sum \alpha_i x_i$. $\phi$ es continuo desde $X$ es una plana. También, se nota que $\Lambda \circ \phi$ es la asignación de identidad.

Supongamos $U \subset X$, entonces a partir de la $\phi (\phi^{-1} U) \subset U$, podemos ver que $\phi^{-1} U = \Lambda \circ \phi (\phi^{-1} U) \subset \Lambda U$.

Deje $U \subset X$ ser un barrio de $0 \in X$. Entonces, por la continuidad, $\phi^{-1} U$ está abierto, $0 \in \phi^{-1} U$, y, por tanto, $\Lambda U$ contiene un abierto barrio de $0 \in Y$.

Ahora supongamos $U \subset X$ está abierto, y $y_0 \in \Lambda U$. A continuación, $y_0 = \Lambda x_0$ algunos $x_0 \in U$. Deje $U' = U -\{x_0\}$, que es una vecindad de a $0$. A continuación, $\Lambda U'$ contiene un abierto de vecindad $V' \subset Y$$0$. A continuación, $V = V'+\{\Lambda x_0\} = V' + \{y_0\} \subset \Lambda U$ es una vecindad de a $y_0$. Por lo tanto $\Lambda$ es una carta abierta.

Answer 2

No sé qué espacios vectoriales topológicos. Pero lo que sé es que cualquier finito dimensionales real espacio vectorial puede ser hecha en un espacio topológico por la elección de cualquier norma que no depende de la elección de la norma.

Ahora si $V$ es cualquier finito dimensionales real de espacio vectorial y $W$ es un subespacio lineal de $V$, el mapa de proyección $\pi:V\to V/W$ pueden ser fácilmente verificadas a ser un mapa.

Cualquier surjective lineal mapa de $T:V\to Y$ factores de forma exclusiva a través de un isomorfismo lineal $\bar T:V/\ker T\to Y$.

Por lo tanto $T$ es una composición de dos mapas abiertos y por lo tanto está abierto.

Espero que esto al menos arroja algo de luz sobre el problema.