Cómo mostrar $c_n=\frac11 + \frac12 + \cdots + \frac1n - \ln n$ es una secuencia de números positivos?

Question

Para $n \in \mathbb{N}$ deje $c_{n}$ ser definido por
$$c_{n}=\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n$$ We have to prove that $c_{n}$ es una disminución de la secuencia de números positivos.
Ya he demostrado en la primera parte, que es una disminución de la secuencia teniendo en cuenta la diferencia de $$c_{n+1}-c_{n} = \ln \left(1- \frac{1}{n+1} \right) +\frac{1}{n+1} $$ and then using the expansion of $\ln (1-x)$ for $-1\leq x \leq 1$.
Pero estoy teniendo algunos problemas en mostrar la segunda parte de que todos los términos de la secuencia son positivos. He intentado utilizar la primera forma de inducción pero, pero atrapado en el paso inductivo, puede alguien por favor sugieren explicar que a mí? o mejor sugerir alguna otra manera de probar que parte?
Cualquier tipo de recepción como de registro, ya que conduce a la solución, gracias de antemano.

Answer 1

Usted sabe que $\ln(x) = \int_1^x \frac{1}{t} dt$, ¿verdad? La expresión (a excepción del último plazo) es una suma superior (el uso de un uniforme de la partición, cada una de las particiones que tienen una longitud de 1,l i.e, con la partición de puntos de $1, \ldots, n$) para la integral que define a $\ln(n)$, y por lo tanto es mayor que o igual a $\ln(n)$.

Answer 2

Sugerencia: Escriba $\ln n$ como la integral de la $1/x$ y el vinculado a cada término de la suma de Riemann.