No aislado mínimo

Question

Considere la posibilidad de la $C^2$ función de $F:\mathbb{R}^k \rightarrow \mathbb{R}^k$

es posible que para ser tal que $x_n$ es un estricto local minimizer para todos los $n$ $x_n \rightarrow x$ donde $x$ es un estricto local minimizer sí mismo.

Sé que $\sin(\frac{1}{x})$ tiene un tanto similar a la propiedad, pero no es continua en cero.

Gracias!

Answer 1

Aquí está un ejemplo: $F(x) = x^6 (\sin \frac{1}{x})^2 + x^8$.

Se establece que este satisface sus criterios lleva un poco de trabajo:

En primer lugar, vamos a establecer los pertinentes suavidad propiedades: Tenga en cuenta que $F$ es suave para $x \ne 0$, y cerca de $x=0$ tenemos algunos $K_0$ tal que $F(x) \le K_0x^6$,$|F(x)-F(0) - 0.x| \le K x^6$, por lo tanto $F'(0) = 0$. Algunos de diferenciación da $F'(x) = 8{x}^{7}+6 {\mathrm{sin}\frac{1}{x}}^{2}{x}^{5}-2\mathrm{cos} \frac{1}{x} \mathrm{sin} \frac{1}{x} {x}^{4}$$x \neq 0$, y ya cerca de $x=0$ tenemos algunos $K_1$ tal que $|F'(x)| \le K_1 x^4$, por lo tanto $F'$ es continua. Desde $|F'(x)-F'(0)| \le K_1 x^4$, podemos ver que $F''(0) = 0$. Algunos monótono trabajo muestra que para $x \neq 0$ tenemos $|F''(x)| \le K_2 x^2$, del que se desprende que $F$$C^2$. Por último, tomamos nota de que $F(z) = z^6 (\sin \frac{1}{z})^2 + z^8$ es una analítica de la función en $\operatorname{re}z > 0$.

Desde $F(x) \ge x^8 \ge 0 = F(0)$, podemos ver que $0$ es un estricto local minimizer.

Vamos $\mu_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi}$, $\zeta_n = \frac{1}{n\pi}$. Vemos que $\mu_{n+1} < \zeta_n < \mu_n$ y $F(\mu_n) = (\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi})^6 (1+ (\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi})^2) \ge (\frac{1}{\frac{\pi}{2}+n\pi})^6 = (\frac{1}{n\pi})^6 \left( \frac{n \pi}{\frac{\pi}{2}+n\pi} \right)^6$, $F(\zeta_n) = (\frac{1}{n\pi})^6 (\frac{1}{n\pi})^2$, y $F(\mu_{n+1}) = (\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+n\pi})^6 (1+ (\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+n\pi})^2) \ge (\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+n\pi})^6 = (\frac{1}{n\pi})^6 \left( \frac{n \pi}{\frac{3\pi}{2}+n\pi} \right)^6$. Desde $\frac{n \pi}{\frac{\pi}{2}+n\pi} > \frac{n \pi}{\frac{3\pi}{2}+n\pi} > \frac{1}{n\pi}$$n \ge 1$, podemos ver que $F(\mu_n) > F(\zeta_n), F(\mu_{n+1}) > F(\zeta_n)$, y por lo $F$ tiene un minimizer $x_n$$(\mu_{n+1}, \mu_n)$. Para ver que esto es un estricto minimizer, supongamos $y_k \to x_n$ es una secuencia tal que $F(y_k) = F(x_n)$, entonces a partir de la $F$ es analítica, esto implicaría que $F$ es constante en $\operatorname{re}z > 0$, lo cual es una contradicción. Por lo tanto $x_n$ es un estricto local minimizer.

Desde $x_n \to 0$, se tiene el resultado deseado.