Problemas con una Declaración en la de Arnold "Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica"

Question

En la página 6 de Arnold Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica (2ª Edición), hay una línea que dice

Se puede hablar de dos eventos que ocurren simultáneamente en diferentes lugares, pero la expresión 'dos eventos simultáneos $a,b \in A^4$' que ocurren en uno y el mismo lugar en el espacio tridimensional" no tiene ningún sentido mientras no hemos elegido un sistema de coordenadas.

(Por $A^4$ nos referimos a una de cuatro dimensiones afín espacio sobre el espacio vectorial $\mathbf R^4$, junto con un rango de $1$ lineal mapa de $t:\mathbf R^4\to \mathbf R$ que mide el intervalo de tiempo entre dos eventos.)

No sé cuál es el significado preciso de los dos términos en negrita en la anterior línea resaltada.

¿Qué se entiende por "lugar"? Probablemente un punto en el espacio ilimitado de puntos de un evento.

Otra cosa que Arnold no parece definir que es un "sistema de coordenadas".

Puede alguien ayudar?

Gracias.

Answer 1

Creo que tiene un tipo particular de sistema de coordenadas en mente: Elija un punto de $O$ como su origen y, a continuación, una base $(e_0,e_1,e_2,e_3)$ $\mathbb{R}^4$ donde $e_0$ $O$ a algún punto de $P$$t(e_0)=t(\vec{OP})=1$, y donde $(e_1,e_2,e_3)$ es una base para el núcleo de $t$.

Luego cada evento $Q$ (= punto en $A^4$) tiene coordenadas únicas $(t,x,y,z)$, donde $\vec{OQ}=t e_0 + x e_1 + y e_2 + z e_3$, y podemos decir que $Q_1$ $Q_2$ ocurren en el mismo lugar si su $(x,y,z)$ coordenadas son las mismas. Pero esto depende de la elección del punto de $P$ (si $Q_1$ $Q_2$ tienen diferentes $t$ coordenadas); si elegimos otro sistema de coordenadas con otro punto de $P'$ dando la dirección del eje de tiempo, a continuación, $Q_1$ $Q_2$ tienen diferentes $(x',y',z')$ coordenadas.

La idea es que los diferentes sistemas de coordenadas de este tipo corresponden a diferentes observadores inerciales y no inerciales observador es "mejor" que la de cualquier otro, así que no hay mejor sistema de coordenadas. El vector entre los puntos de $P$ $P'$ por dos observadores inerciales le dice que su velocidad relativa. Si un observador piensa que dos no simultáneo de los eventos ocurren en el mismo lugar, y luego otro observador (en movimiento con respecto a la primera) no estarán de acuerdo. Y dos de ellos tienen la impresión de estar "parado"; ambos piensan que el otro observador es el que se está moviendo. Así que no hay manera objetiva de determinar si la no contemporaneidad de los eventos ocurren en el mismo lugar; que depende del observador.