Valores propios de una Sturm-Liouville problema

Question

Considerar el Sturm-Liouville problema

$$-u''(x) + V(x)u(x) = \lambda u(x)$$

para $u : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, $\lambda \in \mathbb R$. Estoy buscando un método para encontrar los autovalores $\lambda$ que producen soluciones de $u \in L^2(\mathbb R)$ para varias opciones de $V$, por ejemplo, $V(x) = c/\cosh^2(Cx)$ o $V(x) = e^x$. Existe un procedimiento general para hacer esto? Si no, alguien puede proporcionar sugerencias para encontrar los valores propios, al menos, en los dos casos que he mencionado?

Answer 1

Los autovalores $\lambda$ emergen de las condiciones de contorno que son parte de la diferencial de operador. En su caso, $x \in (-\infty, \infty)$, así que usted puede especificar el comportamiento de $u$$x \rightarrow \infty$. Una forma de atacar este es considerar la transformada de Fourier de $u$:

$$ \hat{u}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \: u(x) \exp{(i 2 \pi k x)} $$

Aplicación de la integral operador para el S-L de la ecuación, y la integración por partes (y suponiendo que $u$ y sus derivados se desvanecen en $\infty$), obtenemos una ecuación integral para $ \hat{u}$:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} dk' \: \hat{V}(k-k') \hat{u}(k') = (\lambda + 4 \pi^2 k^2) \hat{u}(k) $$

donde

$$ \hat{V}(k) = \int_{-\infty}^{\infty} dx \: V(x) \exp{(i 2 \pi k x)} $$

y recuperamos la solución de

$$ u(x) = \int_{-\infty}^{\infty} dk \: \hat{u}(k) \exp{(-i 2 \pi k x)} $$

Answer 2

Numéricamente el problema puede ser resuelto utilizando, por ejemplo, el algoritmo de Numerov con el método del disparo. Sólo hay un par de opciones para $V$ para los que hay una explícita de la solución analítica, algunos de ellos se puede encontrar aquí.

Uno de es $$V(x) = \frac{c}{\cosh^2(C x)}$$ which is called the Pöschl–Teller potential. However, it only has solutions in $L^2$ if $c<0$. Después de un reescalado, usted encontrará que la eigensolutions soluciones son funciones de Legendre.

Al $V(x) =e^{x}$ creo que el autovalor problema no tiene solución en $L^2$.

Answer 3

Existe una técnica llamada "OBJETIVO", que significa "asintótico de iteración del método". Véase, por ejemplo, esta referencia 1 y la referencia 2.