Es una sentencia de Gödel lógicamente válida?

Question

Esta podría ser una elemental pregunta, pero estoy empezando a aprender la lógica de la teoría.

De la wikipedia artículo sobre Gödel los teoremas de incompletitud

Cualquier efectivamente generado teoría capaz de expresar elementales de la aritmética no puede ser coherente y completa. En particular, para cualquier constante, efectivamente generado formal de la teoría que demuestra ciertas verdades básicas de la aritmética, no es una aritmética declaración de que es cierto, pero no es demostrable en la teoría (Kleene de 1967, pág. 250). El verdadero pero no demostrable declaración a que se refiere el teorema se refiere a menudo como "el Gödel frase" por la teoría. El verdadero pero no demostrable declaración a que se refiere el teorema se refiere a menudo como "el Gödel frase" por la teoría.

Mi pregunta: Es una declaración de Gödel lógicamente válido?.

Edit: Como Carl respuestas a continuación, si el Gödel declaración es válida, entonces por el teorema de completitud, es demostrable, lo que conduce a una contradicción. De modo que existe un modelo en el que la afirmación es falsa. Podemos construir un modelo de este tipo?

Answer 1

No, una sentencia de Gödel no es lógicamente válido. Debido a que la sentencia de Gödel para una teoría de la $T$ es improbable de $T$, se desprende del teorema de completitud de la lógica de primer orden que hay un modelo de $T$ en que la sentencia de Gödel es falso.

Cuando el texto citado dice "true" se debe leer como "verdadero en el modelo estándar de la aritmética". Validez lógico correspondería a la verdad en todos los modelos. Un ejemplo de una lógica válida la pena es $(\forall x) (x=x)$.