Los valores numéricos polinomios en los números racionales

Question

Un polinomio $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ se llama numérica polinómica si cumple las siguientes condiciones equivalentes:

1. Si $a_{i} \in \mathbb{Q}$ son los únicos coeficientes de satisfacer $f = a_{0}\binom{x}{0} + \dotsb + a_{d}\binom{x}{d}$, $a_{k} \in \mathbb{Z}$ todos los $k$. (Aquí se $\binom{x}{k} := \frac{(x-0)(x-1) \dotsb (x-(k-1))}{k!}$.)
2. El polinomio $f$ es de valor entero, es decir,$f(\mathbb{Z}) \subseteq \mathbb{Z}$.

Es cierto que para cualquier sub-anillo $S \subseteq \mathbb{Q}$ tenemos $f(S) \subseteq S$?

Es equivalente a responder a la pregunta de $f(x) = \binom{x}{k}$. En este caso sería suficiente para saber si la expresión $$ \alpha(m,n,k) := \frac{m(m-n) \dotsb (m-(k-1)n)}{k!} $$ is an integer for any integers $m,n$ (with $n \ne 0$), pero no sé si tiene una combinatoria de interpretación.

EDIT: La expresión $\alpha(m,n,k)$ no es siempre un número entero (de hecho $\alpha(k!+1,k!,k)$ no es un número entero para todos los $k \in \mathbb{N}$). Pero esto todavía no se da una respuesta a la pregunta principal, como $f(1+\frac{1}{k!}) \in \mathbb{Z}[\frac{1}{k!}]$$f(x) = \binom{x}{k}$.

(Mi motivación para esta pregunta es la prueba de Pilas Proyecto de Etiqueta 0CAP, que dice $\binom{1/n}{k} \in \mathbb{Z}[1/n]$.)

Answer 1

Aquí es un argumento. Es suficiente para probar que para cualquier $m,n,k$ ( $n \ne 0$ ), la expresión de $\alpha(m,n,k)$ se definió anteriormente está contenida en $\mathbb{Z}[\frac{1}{n}]$, que se reduce a la siguiente afirmación.

Deje $a,b$ ser enteros (con $b > 0$), y deje $k$ ser un entero positivo. Para cualquier prime $p$ no dividiendo $b$, el producto $(a+b)(a+2b)\dotsb(a+kb)$ es divisible por $p^{v_{p}(k!)}$ donde $v_{p}(n)$ es el mayor entero tal que $p^{v_{p}(n)}$ divide $n$.

Por Legendre de la fórmula tenemos $v_{p}(k!) = \sum_{i=1}^{\infty} \lfloor \frac{k}{p^{i}} \rfloor$. Esto es suficiente para mostrar que, si $\lfloor \frac{k}{p^{i}} \rfloor = e$, luego en la progresión aritmética $\{a+b,a+2b,\dotsb,a+kb\}$ hay al menos $e$ números divisibles por $p^{i}$. Podemos, de hecho, muestran la misma para el subsequence $\{a+b,a+2b,\dotsc,a+ep^{i}b\}$, lo cual es distinto de la unión de $e$ subsecuencias (de longitud $p^{i}$) de la forma$\{a+((j-1)p^{i}+1)b,\dotsc,a+(jp^{i})b\}$$j=1,\dotsc,e$, cada uno de los cuales contiene un número divisible por $p^{i}$ desde $b$ es relativamente primer a $p^{i}$.

Bill Dubuque y KCd tener las respuestas a esencialmente la misma pregunta.