Uno-representaciones tridimensionales de S5

Question

El único dimensiones de las representaciones de $S_5$ son los triviales de la representación y el signo de la representación. ¿Por qué son estos los únicos?

Esto es lo que he conseguido hasta ahora: la imagen de cualquier unidimensional de la representación es abelian. Si $\rho:G \rightarrow H$ es un homomorphism y $H$ es abelian, a continuación, $H$ es el trivial grupo o $C_2$ (żpor qué?).

Fuente: Artin de Álgebra de 7.1.4. Es el hecho de que esto es $S_5$ sólo una cortina de humo? Mi primer instinto fue el uso de la simplicidad de $A_5$, pero parece que estos son sólo una dimensión de las representaciones para cualquier $S_n$

Answer 1

Los derivados de los subgrupos es $A_5$, que tiene índice 2. Un homomorphism $G\to H$ ha abelian imagen si y sólo si $G'$ está en el kernel. Un carácter lineal es un grupo homomorphism a la abelian grupo de unidades del campo.

Más generalmente, $A_n$ es la derivada de los subgrupos de $S_n$, y por lo suficientemente bueno campos, el grupo de caracteres lineales de $G$ es isomorfo a $G/G'$. Los números complejos son siempre lo suficientemente bueno.