Caracterización de los pequeños de Banach subalgebras

Question

Deje $A$ ser un unital álgebra de Banach y $x \in A$ distinto de cero. Se puede considerar que la subalgebra $B$ $A$ generado por $\{1,x\}$. Esta es la norma de cierre del subespacio de polinomios en $x$. Así que para cualquier $y \in B$ existe una secuencia de polinomios $p_n(z) \in \mathbb C[z]$ tal que

$$\lim_{n\rightarrow \infty} ||p_n(x) - y||=0. $$ En particular, nos damos cuenta de que cualquier potencia de serie con radio de convergencia de menos de $||x||$ evaluado en$x$$B$. Mi pregunta es si o no a cada elemento de a $B$ puede ser escrito como una potencia de la serie en $x$. Parece que este puede seguir fácilmente desde la clásica prueba de que una normativa espacio vectorial es completo si y sólo si cada absolutamente convergente la serie converge, pero no he sido capaz de trabajar a través de los detalles.

Answer 1

Otro ejemplo:

Deje $A$ ser el álgebra de funciones en la cerrada de la unidad de disco, continua en el disco cerrado y analítica en el interior, con pointwise operaciones y sup norma, y deje $x$ ser el mapa de $z\mapsto z$. A continuación,$A=B$. En este caso, cada elemento de a $A$ tiene una potencia de series convergentes pointwise en el interior del disco, pero no todos ellos son norma convergente (la convergencia puede ser uniforme, incluso para una serie que converge en todas partes en el disco cerrado). Por lo tanto $A$ da otro contraejemplo.

Sin embargo, la secuencia de Cesàro medio de la potencia de serie de cada una de las $f\in A$ converge en norma a $f$.

Answer 2

No necesariamente. Si $A=C[0,1]$, el espacio de funciones continuas en $[0,1]$ on los valores reales, y $x$ es el mapa $t\mapsto t$,$B=A$. Pero no todo elemento de a $A$ puede ser escrito como una potencia de la serie (se acaba de tomar un mapa que no es $C^1$).