Encontrar núcleo de homomorphism $f:\mathbb Z \to S_8$ tal que $f(1)=(1426)(257)$

Question

Deje $f:\mathbb Z \to S_8$ ser un homomorphism tal que $f(1)=(1426)(257)$ , entonces cómo calcular $\ker(f)$$f(20)$? Sé que $f(n)=f^n(1)$, pero esto parece demasiado tedioso; por favor ayuda

Answer 1

En $S_8$, la permutación $\sigma = (1426)(257) = (142576)$ orden $6$. Ahora, $$f(20) = f^{20}(1) = (142576)^{20} = (127)(456),$$ where we used the fact that $(142576)^{18} = (1)$ since $|(142576)| = 6$. For $n$ to be in $\mathrm{ker}(f)$, we need $(142576)^n = (1)$, which happens precisely when $n$ is a multiple of $6$. What can you conclude about $\mathrm{ker}(f)$?

Answer 2

El núcleo de cualquier homomorphism $f$ $\Bbb Z$ es generado por el orden de $f(1)$.

Answer 3

Tenga en cuenta que $S_8$ es un grupo finito, así que si usted mira los poderes de $f$ usted encontrará que eventualmente se repite. Tal vez usted puede razonar acerca de cuánto tiempo se tarda para que se repita a sí mismo sin explícitamente dibujo todo lo que fuera.