¿Operaciones binarias definidas en conjuntos de grupos?

Question

Supongamos que $S$ es un conjunto de grupos de orden $n$ ¿hay una operación binaria $*:S \times S \to S$ que es definible en $S$ ?

Las operaciones obvias con las que empecé fueron

• Producto cartesiano, pero que produce grupos de orden $n^2$ .
• Intersección, pero eso produce grupos de orden $ \leq n$ .
• Multiplicación matricial de las representaciones de la tabla de Cayley, pero eso no produce otra $n \times n$ matriz sobre los números enteros $\{0,1,...\,n-1\}$

Tengo curiosidad, ¿hay alguna operación conocida que se pueda definir que tome pares de grupos y produzca uno del mismo orden?

Answer 1

Asumiendo que las clases de isomorfismo de los grupos se pretende, la respuesta a la pregunta es sí, porque podemos hacer que el conjunto de $|S|$ grupos de orden $n$ en un grupo cíclico de orden $|S|$ de alguna manera arbitraria. Pero si te refieres a si hay alguna forma "natural" de hacerlo que involucre la estructura de los grupos en $S$ entonces la respuesta es casi seguro que no.