Prueba de que $\cos(2\theta) = \cos^2\theta-\sin^2\theta$ mostrando la equivalencia de las derivadas

Question

Se puede demostrar usando identidades trigonométricas que $\cos(2\theta) = \cos^2\theta-\sin^2\theta$.

Pero si dejamos $f(x) = \sin(2x)$, podemos diferenciar de dos maneras:

1) $$f(x) = \sin(2x) \rightarrow f(x) = 2\sin(x)\cos(x)$$ Diferenciando usando la regla del producto vemos que: $$f^{'}(x) = 2[\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\sin(x)] = 2[\cos^2(x)-\sin^2(x)]$$

2) Si diferenciamos $f(x)$ tal como está, entonces: $$\frac{d}{dx}f(x) = 2\cos(2x) $$ Por lo tanto: $2\cos(2x) = 2[\cos^2(x) - \sin^2(x)] \rightarrow \cos(2x) = \cos^2(x) -\sin^2(x)$

¿Es esta una prueba viable?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Sí, totalmente válido. Hay otras formas interesantes como esta que también sirven para verificar otras identidades trigonométricas. Recuerdo haber demostrado una a través de series de Fourier en agosto para una clase, por ejemplo.

Un poco exagerado, obviamente, pero 100% válido, al igual que tu método.

Answer 2

Las ideas y el trabajo mostrado son válidos.

Para formatear el trabajo aquí en el formato de una demostración, necesitamos identificar nuestras hipótesis.

Las cosas que se asumen aquí son que $\sin{2x}=2\sin{x}\cos{x},$ (llamo a esto una suposición, ya que la fórmula del ángulo doble para el coseno no se asume implícitamente), la derivada del seno es coseno, y la derivada del coseno es -seno.

Usualmente, la fórmula del ángulo doble para el coseno se utiliza para demostrar que las derivadas de las funciones trigonométricas son lo que son. Así que llamar explícitamente a esas cosas suposiciones permite que esto no sea un razonamiento circular.

Answer 3

El método es válido y su lógica es:

• $f(x)$ tiene una derivada única, $f'(x)$, la cual se puede encontrar de dos formas.
• Una forma da $f'(x)=g(x)$, y la otra da $f'(x)=h(x)$.
• Dado que $f'(x)$ es único, $g(x)=h(x)$.

Solo sería inválido si, por ejemplo, uno de los métodos de diferenciación estuviera incorrecto.