Preguntas sobre cosets: "Si $aH\neq Hb$,$aH\cap Hb=\emptyset$"?

Question

Deje $H$ ser un subgrupo del grupo $G$, y deje $a$ $b$ pertenecen a $G$. A continuación, se sabe que

$$ aH=bH\qquad\text{o}\qquad aH\cap bH=\emptyset $$

En otras palabras, $aH\neq bH$ implica $aH\cap bH=\emptyset$. ¿Qué podemos decir acerca de la declaración de

"Si $aH\neq Hb$,$aH\cap Hb=\emptyset$" ?

[EDITADO:] Lo que creo es que cuando $G$ es Abelian, esto puede ser cierto ya que $aH=Ha$ cualquier $a\in G$. Pero lo que si $G$ no es Abelian? ¿Cómo debo ir?

Answer 1

La condición de $aH=Ha$ caracteriza a un tipo especial de subgrupo, llamado un subgrupo normal. Ellos juegan un papel muy importante.

Teorema. Deje $G$ ser un grupo, y vamos a $H$ ser un subgrupo de $G$. Los siguientes son equivalentes:

1. Cada izquierdo coset de $H$ es también un derecho coset de $H$.
2. $aH = Ha$ por cada $a\in G$.
3. $aHa^{-1} = H$ por cada $a\in G$.
4. $aHa^{-1}\subseteq H$ por cada $a\in G$.
5. La equivalencia de las relaciones de $a\equiv_H b$ $a {}_H\equiv b$ son la misma relación de equivalencia.
6. Existe un grupo de $K$ y un homomorphism $f\colon G\to K$ tal que $H=\mathrm{ker}(f)$.

(Recuerde que $a\equiv_H b$ si y sólo si $ab^{-1}\in H$; y $a{}_H\equiv b$ si y sólo si $a^{-1}b\in H$).

Si $H$ es un subgrupo normal, entonces su implicación tiene, exactamente de la misma manera como se tiene para abelian grupos.

Por el contrario, supongamos que $H$ no es un subgrupo normal. Entonces existe un $a$ tal que $aH\neq Ha$; pero $a\in aH\cap Ha$. Por lo tanto, $aH\neq Ha$ pero $aH\cap Ha\neq\emptyset$, por lo que la implicación no se sostiene. Que es: su deseado implicación es equivalente a $H$ ser un subgrupo normal de $G$.

Así podríamos agregar un séptimo punto del teorema: "si $aH\cap Hb\neq\emptyset$,$aH=Hb$."

Answer 2

A veces es verdad y a veces falsas.

Por ejemplo, si $H$ es un subgrupo normal de $G$, entonces es cierto.

Si $H$ es el subgrupo generado por la permutación $(12)$ dentro $G=S_3$, el grupo simétrico de grado $3$,$(123)H\neq H(132)$, sin embargo, $(13)\in(123)H\cap H(132)$