En la serie compleja $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$

Question

Estoy estudiando el complejo de la serie $$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{z^n}{n}$$ when $|z| = 1$ and $z \ne 1$.

Me escribieron de la clase, que en este caso la serie converge por Dirichlet en la prueba. Pero no veo por qué no existe una $M \in R$ s.t. $\Bigg| \sum_{n = 1}^{N} z^n \Bigg| \le M$ para cada entero positivo $N$?

Answer 1

Bien, $\vert\sum_1^N z^n\vert=\vert\frac{z-z^{N+1}}{1-z}\vert\le\frac{2}{\vert 1-z \vert}$ por el triángulo de la desigualdad y la $\vert z\vert=1$. Para $z\neq1$, esto es finita, y de Dirichlet de la prueba se aplica.

Answer 2

En el círculo unidad vamos a $z=e^{2 \pi i t}$. Entonces, w.l.o.g $$ \left|\sum_{n=1}^Ne^{2\pi i n t}\right|=\left|\frac{e^{2\pi i t}-e^{2\pi i (N+1)t}}{1-e^{2\pi i t}}\right|\leq\frac{2}{|1-e^{2\pi i t}|} $$ para todos los $N\in\mathbb{N}$. Lo cual muestra que los criterios se reunió $\forall z \neq 1$ en este círculo.