A la izquierda Cosets y Derecho Cosets.

Question

Recordemos que $GL_2(\mathbb{R})$ es el grupo de todos los invertible 2x2 matrices con entradas real. Vamos a:

$G = (\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \in GL_2(\mathbb{R}) : ac \neq 0$)

y

H = ($\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix}: x\in\mathbb{R}$)

H es un subgrupo de G.

Mostrar que cada izquierdo coset de H en G es igual a la derecha coset de H en G.

En primer lugar, pensé suponiendo que G es abelian. Pero, claramente, que no para mí, porque G no es abelian. La otra cosa que he pensado en probar fue mostrar a $ghg^{-1}\in H$ donde$g\in G$$h\in H$. Ahora con esta idea, estoy atascado en el que muestra que $ghg^{-1}\in H$. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Evaluar la multiplicación $\displaystyle\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1\end{pmatrix}$ explícitamente. Lo que sucede como $x$ varia $\Bbb R$?

Y entonces ¿qué pasa si las matrices son a la inversa - lo que hacen los productos parecen entonces como $x$ varía?

Answer 2

Si $g = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \in G$, entonces $$ g^{-1} = \begin{pmatrix} 1/a & -b/ca \\ 0 & 1/c \end{pmatrix} $$ así que si $h = \begin{pmatrix} 1 & x \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in H$, entonces $$ g^{-1}hg = \begin{pmatrix} 1 & -cx/a \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in H $$ Por lo tanto, si $g\in G, h \in H$, hay un $h' \in H$ tal que $$ hg = gh' $$ Por lo tanto, $$ Hg \subconjunto de gH $$ y la otra contención mantiene de manera similar, por lo $gH = Hg$.

Answer 3

El mapa de $\varphi\colon G\to\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}^*$ (donde $\mathbb{R}^*$ denota el grupo multiplicativo de los números reales distintos de cero), definido por $$ \varphi\colon\begin{pmatrix}a & b \\ 0 & c\end{pmatrix} \mapsto (a,c) $$ es un homomorphism porque $$ \begin{pmatrix}a_1 & b_1 \\ 0 & c_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2 & b_2 \\ 0 & c_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1a_2 & a_1b_2+b_1c_2 \\ 0 & c_1c_2\end{pmatrix} $$ Desde $H=\ker\varphi$, $H$ es normal en $G$.