Desigualdad integral $\int\limits_0^1f^2(x)dx\geq12\left( \int\limits_0^1xf(x)dx\right)^2.$

Question

Sea $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ sea una función continua tal que $\int\limits_0^1f(x)dx=0$ . Demostrar que $$\int\limits_0^1f^2(x)dx\geq12\left( \int\limits_0^1xf(x)dx\right)^2.$$

Mi enfoque es el siguiente

Sea $F(x)=\int\limits_0^xf(t)dt$ . Integrando por partes tenemos $$\int\limits_0^1F(x)dx=-\int\limits_0^1xf(x)dx.$$ Por la desigualdad de Cauchy-Schwarz $$\begin{aligned} \left( \int\limits_0^{1/2}xf(x)dx\right)^2&\leq\left( \int\limits_0^{1/2}x^2dx\right)\left( \int\limits_0^{1/2}f^2(x)dx\right)=\frac{1}{24}\int\limits_0^{1/2}f^2(x)dx\\ \left( \int\limits_{1/2}^1(x-\frac{1}{2})f(x)dx\right)^2&\leq\left( \int\limits_{1/2}^1(x-\frac{1}{2})^2dx\right)\left( \int\limits_{1/2}^1f^2(x)dx\right)=\frac{1}{24}\int\limits_{1/2}^1f^2(x)dx \end{aligned}$$ Por lo tanto $$\left( \int\limits_0^{1/2}xf(x)dx\right)^2+\left( \int\limits_{1/2}^1(x-\frac{1}{2})f(x)dx\right)^2\leq \frac{1}{24}\int\limits_{0}^1f^2(x)dx.$$

Pero no puedo deducir el resultado. Por favor, ayúdeme. Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $f$ tiene media cero, $$ \int_{0}^{1} x\,f(x)\,dx = \int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)\,f(x)\,dx,\tag{1}$$ y por la desigualdad de Cauchy-Schwarz/Buniakowski tenemos: $$ \left(\int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)\,f(x)\,dx\right)^2 \leq \int_{0}^{1}f(x)^2\,dx \int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\,dx \tag{2}$$ así que tenemos que comprobarlo: $$ \int_{0}^{1}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\,dx = \frac{1}{12},\tag{3}$$ que es sencillo.

Answer 2

Una forma "mecánica" de abordar esta cuestión es seguir la prueba de la desigualdad de Cauchy y escribir

\begin{aligned} 0&\leq \int_0^1 (x+\lambda f+\mu)^2\\ &=E(f^2)\lambda^2+2\lambda E(xf) +\frac{1}{3}+\mu+\mu^2 \end{aligned}

Aquí $E(g)=\int_0^1 g,\;E^2(g)=(E(g))^2$ . Así

$$ \Delta_1=4 E^2(xf)-4 E^2(f)\left(\frac{1}{3}+\mu+\mu^2\right)\leq 0$$

Ahora trata $\Delta_1\leq 0$ como una desigualdad de $\mu$ ,

$$\Delta_2=E(f^2)\left (-\frac{1}{3}E(f^2)+4 E^2(xf)\right)\leq 0$$

Si $E(f^2)=0$ entonces $f=0$ casi en todas partes, así que hecho. De lo contrario, tenemos

$$ E^2(xf)\leq \frac{1}{12} E(f^2)$$