Por ejemplo, $$\int_2^{\infty} \frac1{x^2+2x-3} dx$$
La potencia en el denominador es mayor que 1, por lo que no debería converger? A la hora de resolver con parciales de fracciones, parece que diverge. Sin embargo, WolframAlpha me da una respuesta numérica (log5/4). Necesito resolver con un método diferente? Hace converger de divergen?
\begin{align} \int_2^\infty \frac{1}{x^2+2x-3} dx & = \frac 14 \int_2^\infty \bigg(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+3} \bigg) dx \\ \tag{1} & = \frac 14 \bigg[\ln|x-1| - \ln |x+3| \bigg]_2^\infty \\ \tag{2} & = \frac 14 \bigg[\ln \bigg|\frac{x-1}{x+3} \bigg| \bigg ]_2^\infty \\ & = \frac 14\bigg(\ln(1) - \ln\Big(\frac 15 \Big) \bigg) \\ & = -\frac 14 \ln \Big(\frac 15\Big) \\ & = \frac 14 \ln5 \end{align}
Básicamente, hay muchas cosas sutiles pasando aquí.
Por ejemplo, supongo que usted encontró que la integral diverge porque estaban tratando de evaluar en $(1)$. Sin embargo, la razón por la que termina no divergentes, es porque los "infinitos cancelar".
Esto se demuestra claramente cuando se evalúa en $(2)$, donde el límite superior requiere de computación
$$\lim_{x\rightarrow \infty} \ln \bigg|\frac{x-1}{x+3} \bigg|$$
Sabemos que
$$\lim_{x\rightarrow \infty} \bigg|\frac{x-1}{x+3} \bigg| = 1$$
Por lo tanto
$$\lim_{x\rightarrow \infty} \ln \bigg|\frac{x-1}{x+3} \bigg| = \ln(1) = 0$$
que es donde los "infinitos cancelar".
Esto nos dice que debemos ser muy cuidadosos a la hora de usar las reglas de integración. Por ejemplo, tenemos muy comúnmente utilizan el hecho de que
$$\int_a^b \big(f(x)+g(x) \big) dx = \int_a^b f(x)dx + \int_a^b g(x)dx$$
Sin embargo, esto es cierto si y sólo si ambos de la integral en el lado derecho convergen. En este caso, eso no es cierto, así que no podemos dividir las integrales.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
