La estimación logarítmica integral

Question

La lectura de un artículo que he llegado a través de los siguientes obligados integral: $$ \int_{0}^{1}\frac{\sin^{2}\left(\,2 \pi n x\,\right)} {x \left\vert\,\log\left(\,{x/2}\,\right)\,\right\vert}\,\mathrm{d}x > C\log\left(\,\log\left (\n + 2\,\right)\,\right) $$ para una constante $C > 0$ independiente de $n$. Me gustaría mostrar esto.

Sustituyendo $x \to \frac{x}{2\pi n}$ tenemos $$ \int_{0}^{1}\frac{\sin^{2}\left(\,2\pi nx\,\right)} {x\left\vert\,\log\left(\,x/2\,\right)\,\right\vert}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{2\pi n}\frac{\sin^{2}\left(\,x\,\right)} {\left\vert\,\log\left(\,x/\left[\,4\pi n\,\right]\,\right)\,\right\vert}\, \frac{\mathrm{d}x}{x}. $$ Esto se parece a la logarítmica integral de la $\,\mathrm{li}\left(\,x\,\right) = \int_{0}^{x}\frac{\mathrm{d}t}{\log\left(\,t\,\right)}$, que satisface $\,\mathrm{li}\left(\,x\,\right) > \log\left(\,\log\left(\,x\,\right)\,\right)$. Sin embargo, no veo la manera de conseguir alrededor de la $\frac{\sin^{2}\left(\,x\,\right)}{x}$ en el integrando.

Cómo puedo probar este límite inferior ?. Gracias !.

Answer 1

Romper el intervalo de integración como $\left[0,\frac{1}{4n}\right]\cup\left[\frac{1}{4n},1\right]$. La integral en la primera parte es positivo y convergente a cero, como se $n\to +\infty$, por lo tanto, puede simplemente centrarse en la segunda parte. La función de $\sin^2(z)$ tiene una media de valor de $\frac{1}{2}$, por lo que es suficiente para aplicar la integración por partes / de explotar un coseno de Fourier transform y el aviso de que $$ \int_{\frac{1}{4n}}^{1}\frac{\frac{1}{2}}{z\left|\log\frac{z}{2}\right|}\,dz = \frac{1}{2}\log\left(\frac{\log(8n)}{\log 2}\right)=\frac{1}{2}\log\left(3+\log_2(n)\right)$$ para demostrar la determinada reivindicación.