En el entramado de topologías sobre un conjunto $X$ Las topologías compactas son un conjunto inferior en la red, mientras que las topologías Hausdorff son un conjunto superior. Un resultado de este teorema es que las topologías compactas de Hausdorff son elementos máximos en el conjunto de topologías compactas y elementos mínimos del conjunto de topologías de Hausdorff en esta red.
He estado fallando en la construcción de un ejemplo de una topología máxima compacta que no sea Hausdorff, pero siento que sólo me falta imaginación - parece poco probable que todas las topologías máximas compactas sean Hausdorff.
Las topologías finitas no funcionarán, ya que la única topología de Hausdorff en un conjunto finito es la topología discreta y, como elemento máximo de la red, la única topología compacta máxima.
Mi intuición es que deben existir tales ejemplos, pero parece posible que si un conjunto compacto no es Hausdorff, podamos crear una nueva topología compacta que sea mayor en la red.
También está la doble pregunta obvia: ¿Existe un elemento mínimo del conjunto de topologías de Hausdorff que no sea compacto?
Para que el problema sea autocontenido, el resultado al que se hace referencia es:
Una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo.
Si $(X,\tau)$ es compacto y Hausdorff, y $\tau\subseteq \tau'$ con $\tau'$ también una topología compacta, entonces la función de identidad $(X,\tau')\to(X,\tau)$ es una biyección continua de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff, por lo que debe ser un homeomorfismo, lo que implica $\tau=\tau'$ .
Del mismo modo, una topología Hausdorff compacta es una topología Hausdorff mínima.
