¿Cuál es la pointwise límite de la siguiente función:

Question

¿Cuál es la pointwise límite de: $$f_n(x) = \begin{cases} n-n^2x & if & 0\leq x \leq\frac{1}{n} \\0 & if & \frac{1}{n} \leq x \leq 1 \end{casos} $$

Answer 1

El pointwise límite es: $$f(x) = \begin{cases} \infty & if & x=0 \\0 & if & 0<x\leq1 \end{casos} $$ Para ver esto, observe que en $[0,1/n]$, $f_n$ es una línea con $y$-en la intersección $n$ y la pendiente de $-n^2$ e una $x$-en la intersección $1/n$. Como $n$ enfoques $\infty$ piensa acerca de lo que sucede a estas líneas.

Answer 2

Deje $x_0 \in [0,1]$. Tenga en cuenta que si $x_0 > 0$ tenemos $\frac{1}{n} \leq x_0 \leq 1$ para todos lo suficientemente grande como $n \in \mathbb{N}$ $f_n(x_0) = 0$ para todos lo suficientemente grande como $n \in \mathbb{N}$. Esto implica que

$$ \lim_{n \to \infty} f(x_0) = \lim_{n \to \infty} \begin{cases} n - n^2x_0 & 0 \leq x_0 \leq \frac{1}{n} \\ 0 & \frac{1}{n} \leq x_0 \leq 1 \end{cases} = \begin{cases} \lim_{n \to \infty} n & x_0 = 0 \\ \lim_{n \to \infty} 0 & 0 < x_0 \end{cases} = \begin{cases} +\infty & x_0 = 0 \\ 0 & 0 < x_0 \leq 1 \end{cases}. $$

Answer 3

El pointwise límite es el de siempre fuga de la función en $(0,1]$ y la secuencia de las funciones no convergen (o diverge a$+\infty$)$0$.

Answer 4

El dominio de la primera parte se reduce a $0$. De ello se deduce que el límite es de $0$ todos los $x>0$. Para el caso particular de $x=0$ es suficiente para comprobar con la mano que es $\infty$.