El significado intuitivo de integrales

Question

Soy un estudiante de ingeniería y siempre me encuentro con problemas que requieren integrales. Sé que la integral es el área bajo la curva, etc... pero hasta ahora no he podido desarrollar un significado intuitivo para la integración. ¿La integración se basa solo en la idea del área bajo la curva? ¿Las leyes de la física que se basan en la integración, como por ejemplo que el trabajo es la integral de la F en una distancia infinitesimal, fueron demostradas por la idea del área bajo la curva o hay una manera intuitiva de entender la integración a través de ella?

Answer 1

La integral es básicamente el cambio total encontrado a partir de la tasa de cambio.

La forma en que me gusta verlo es cuando miro un paquete de papeles de impresión, digamos 500 papeles uno encima del otro, me recuerda al volumen del paquete encontrado por el método de corte, es decir, la integral del área es el volumen.

Está relacionado con el área bajo la curva donde la curva es positiva.

Por ejemplo, si tienes la tasa de flujo de dinero puedes integrar para encontrar el flujo total de dinero.

Si tienes una fórmula para la velocidad puedes integrar para encontrar la distancia total recorrida, o la longitud del arco.

Answer 2

Desde el punto de vista de la física, probablemente no sugeriría pensar en las integrales como áreas a menos que el problema realmente tratara sobre el área. Una interpretación intuitiva obvia de la integración es la inversa de la diferenciación. Supongamos que conoces la velocidad de un automóvil durante un período de tiempo, ¿cómo determinas dónde se encuentra ahora? Integra tus datos. ¿Y qué pasa con esa molesta constante que obtienes al integrar? Bueno, eso corresponde a necesitar saber dónde estaba el automóvil en el tiempo 0.

Para un ejemplo real, observa los sistemas de guía inercial previos al GPS. Miden la aceleración y realizan una doble integración para calcular la posición. Sistema de navegación inercial

Mide la tasa de energía que entra en un sistema, por ejemplo, el voltaje y la corriente de un suministro eléctrico, ¿cómo sabes la energía total? Integra la potencia.

Answer 3

Las integrales representan el área bajo una curva como ya sabes, pero el área significa muchas cosas. Principalmente representan un área (obviamente) pero también la suma de un cambio (definido por una derivada). Por eso encontrar una integral de una función f(x) es igual a encontrar una derivada que te dará f(x).

Answer 4

Hay muchas fórmulas de física básica y otras áreas que multiplican dos cosas juntas para obtener una tercera cosa. Como Área=longitud x ancho. Fuerza = masa x aceleración. Distancia = tasa x tiempo. Estas fórmulas son fáciles de aplicar si los dos factores son constantes. Ten en cuenta que puedes representar cualquiera de ellas como el área de un rectángulo.

Pero, ¿qué haces si uno de los factores comienza a variar? Tienes un rectángulo, pero con un lado todo ondulado. Si el rectángulo representa masa x aceleración y la aceleración sigue cambiando, entonces el área bajo la curva ondulada sigue siendo la fuerza.

La integración corta el "rectángulo" ondulado en pequeños rectángulos reales, calcula masa x aceleración para cada uno, y luego los suma para obtener la fuerza total. La integración significa "hacer integral".