Suma de los recíprocos de los números de Fibonacci convergencia

Question

Estoy tratando de probar la convergencia/divergencia de la serie $$\sum_{i=1}^\infty \frac{1}{F_n} = 1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+...$$ ${F_n}$ la secuencia de Fibonacci.
La secuencia de Fibonacci se define sin recursividad por: $${F_n}=\frac{\phi^n-(-\phi)^{-n}}{\sqrt{5}} \quad\land\quad\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} $$ He tratado de probar su convergencia con la Raíz de la Prueba y de la Prueba de razón de porque de la $n$ exponente, pero no puede hacerlo debido a la diferencia en la fracción.

Alguien me puede ayudar? Gracias

Answer 1

Usted puede probar por inducción que para todo $n\geq 5$ tenemos $F_{n+5}\geq 11 F_n$. Eso es suficiente para deducir la convergencia por comparación con una serie geométrica y más obtener que:

$$ S = \sum_{n\geq 1}\frac{1}{F_n} =\frac{17}{6}+\sum_{n\geq 5}\frac{1}{F_n} = \frac{17}{6}+\sum_{n=5}^{9}\frac{1}{F_n}+\sum_{n\geq 10}\frac{1}{F_n}\leq \frac{17}{6}+\frac{88913}{185640}+\frac{1}{11}\sum_{n\geq 5}\frac{1}{F_n}$$ de tal forma que: $$ \frac{10}{11}\sum_{n\geq 5}\frac{1}{F_n}\leq \frac{88913}{185640},\qquad S\leq \frac{17}{6}+\frac{11}{10}\cdot \frac{88913}{185640}=\frac{2079281}{618800}. $$

Answer 2

Para $n \ge 3$, tenemos

$$\frac{1}{F_n} \le \frac{F_{n-1}}{F_nF_{n-2}} = \frac{F_{n} - F_{n-2}}{F_nF_{n-2}} = \frac{1}{F_{n-2}} - \frac{1}{F_n} = \left(\frac{1}{F_{n-2}} + \frac{1}{F_{n-1}}\right) - \left(\frac{1}{F_{n-1}} + \frac{1}{F_n}\right)\\ = \frac{F_{n}}{F_{n-2}F_{n-1}} - \frac{F_{n+1}}{F_{n-1}F_n} $$

Las sumas parciales es monótona creciente y acotada desde arriba. $$\sum_{n=1}^N \frac{1}{F_n} = 2 + \sum_{n=3}^N \frac{1}{F_n} \le 2 + \frac{F_3}{F_1F_2} - \frac{F_{N+1}}{F_{N-1}F_N} \le 2 + \frac{2}{1\cdot 1} = 4$$ Como resultado, la serie converge.

Answer 3

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{\phi^{n+1}-(-\phi)^{-n-1}}{\phi^n-(-\phi)^{-n}}\ge\phi\frac{1-\phi^{-2n-2}}{1+\phi^{-2n}}.$$

La expresión de la derecha es una función creciente de $n$ que supera $1$ $n=2$ (y rápidamente tiende a $\phi$).

Answer 4

Deje $F_n$ ser la secuencia de fibonacci

Sabemos $F_{2n+2}=F_{2n+1}+F_{2n}\geq 2F_{2n}$

Del mismo modo $F_{2n+1}=F_{2n}+F_{2n-1}\geq 2F_{2n-1}$

Por lo $1/F_2+1/F_4+1/F_6\dots<1/F_2+1/2F_2+1/4F_2\dots=1/F_2(1/2+1/4+1/8\dots)$

$1/F_1+1/F_3+1/F_5\dots<1/F_1+1/2F_1+1/4F_1\dots=1/F_1(1/2+1/4+1/8\dots)$

Ahora, creo que es evidente que por qué la suma de los recíprocos de la secuencia de Fibonacci es convergente, sólo la definición de la secuencia de Fibonacci es suficiente!

Answer 5

Supongamos que $2 \ge \frac{F_{n+1}}{F_n} \ge \frac32 $ para$n$$n+1$.

Entonces

$\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} =\frac{F_{n+1}}{F_{n+1}}+\frac{F_{n}}{F_{n+1}} =1+\frac{F_{n}}{F_{n+1}} \ge 1 + \frac12 =\frac32 $

y

$\frac{F_{n+2}}{F_{n+1}} =\frac{F_{n+1}}{F_{n+1}}+\frac{F_{n}}{F_{n+1}} =1+\frac{F_{n}}{F_{n+1}} \lt 1 + 1 =2 $.