Encontrar el coeficiente de $x^{15}$

Question

$$(x+x^2+x^3+x^4+x^5)\cdot (x^2+x^3+x^4+…)^5$$

He hecho un poco de :

$$x(1 + x+x^2+x^3+x^4)\cdot x^{10}(1 + x^2+x^3+…)^5$$

Mediante la generación de funciones:

$$\begin{align}&x^{11}\cdot\frac{1 - x^5}{1-x}\cdot\frac{1}{(1-x)^5}\\[1ex] \implies &x^{11}(1 - x^5)\cdot\frac{1}{(1-x)^6}\\[1.5ex] \implies &x^{11}(1 - x^5) \cdot\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+5}{5} x^n\\ \end{align}$$

¿Cómo se supone que voy a encontrar $x^{15}$ o cualquier otro como $x^{18} , x^{19}$ ¿Alguna pista? Gracias.

Answer 1

Con lo que ya has hecho estás casi en casa, el último paso consiste en manipular la suma multiplicando por $x^{11}(1-x^5)=x^{11}-x^{16}$ así

$$\begin{align}(x^{11}-x^{16})\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+5}{5}x^n&=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+5}{5}(x^{n+11}-x^{n+16})\\&=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+5}{5}x^{n+11}-\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n+5}{5}x^{n+16}\end{align}$$

reetiquetado de los índices de suma $n\rightarrow n-11$ y $n\rightarrow n-16$ para la primera y la segunda suma, respectivamente, da como resultado

$$\sum_{n=11}^{\infty}\binom{n-6}{5}x^{n}-\sum_{n=16}^{\infty}\binom{n-11}{5}x^{n}$$

pero si definimos $\binom{a}{b}=0$ para $a\lt b$ tal que $a,b\in \mathbb{Z}$ entonces podemos escribirlo como

$$\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n-6}{5}x^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}\binom{n-11}{5}x^{n}$$

o simplemente

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\binom{n-6}{5}-\binom{n-11}{5}\right)x^n$$

de ahí que sus coeficientes $c_n$ en

$$\frac{x^{11}-x^{16}}{(1-x)^6}=\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n$$

son

$$c_n=\binom{n-6}{5}-\binom{n-11}{5}\tag{Answer}$$

Por ejemplo, para encontrar el coeficiente $x^{15}$ enchufe $n=15$ en esa fórmula.

Answer 2

Es conveniente utilizar el coeficiente de operador $[x^k]$ para denotar el coeficiente de $x^k$ en una serie.

Obtenemos \begin{align*} \color{blue}{[x^{15}]}&\color{blue}{x^{11}(1-x^5)\sum_{n=0}^\infty \binom{n+5}{5}x^n}\\ &=[x^4](1-x^5)\sum_{n=0}^\infty\binom{n+5}{5}x^n\tag{1}\\ &=[x^4]\sum_{n=0}^\infty\binom{n+5}{5}x^n\tag{2}\\ &=\binom{9}{5}\tag{3}\\ &\color{blue}{=126} \end{align*}

Comentario:

• En (1) aplicamos la regla $[x^{p-q}]A(x)=[x^p]x^qA(x)$ .

• En (2) observamos el término $x^5$ no contribuye al coeficiente de $x^4$ y puede ser omitido.

• En (3) seleccionamos el coeficiente de $x^4$ .

En general, obtenemos para $k\geq 0$ : \begin{align*} \color{blue}{[x^{k}]}&\color{blue}{x^{11}(1-x^5)\sum_{n=0}^\infty \binom{n+5}{5}x^n}\\ &=[x^{k-11}](1-x^5)\sum_{n=0}^\infty\binom{n+5}{5}x^n\tag{4}\\ &=\left([x^{k-11}]-[x^{k-16}]\right)\sum_{n=0}^\infty\binom{n+5}{5}x^n\tag{5}\\ &\color{blue}{=\binom{k-6}{5}-\binom{k-11}{5}}\tag{6}\\ \end{align*}

Comentario:

• En (4) aplicamos la misma regla que en (1).

• En (5) utilizamos la linealidad del coeficiente de y aplicar la misma regla que en (1).

• En (6) seleccionamos los coeficientes en consecuencia. Obsérvese que aquí fijamos $\binom{n}{k}=0$ si $k>n$ o $n<0$ .