Demostrar que existe un elemento $x\in X$, de tal manera que $\|x\|=1$$d(x,M)=1$.

Question

Si $M$ es de un número finito de dimensiones adecuadas subespacio de una normativa espacio lineal $X$, probar que existe un elemento $x\in X$, de tal manera que $\|x\|=1$$d(x,M)=1$.

Mi intento y Problemas:

Si $M$ fueron cerradas luego puedo aplicar Hahn Teorema de Banach. Pero un ser finito dimensional implica que $M$ está cerrado?

Answer 1

Si $M$ es finito dimensionales, a continuación, $M$ es cerrado. Vamos a demostrar mediante la inducción de la dimensión.

Es obviamente cierto de cero dimensiones de los subespacios.

Para el paso inductivo, vamos a utilizar la siguiente propuesta, sugerida por Moya:

Si $M$ es cualquier subespacio cerrado de $X$,$x \notin M$, el subespacio $M \oplus \mathbb{R}x$ es cerrado.

Para demostrarlo, supongamos que $y_n = x_n+c_nx$ es una secuencia de puntos de $M \oplus \mathbb{R}x$ que converge a un punto de $y \in X$. Aquí $x_n \in M$$c_n \in \mathbb{R}$. Tenemos que demostrar que el $y \in M \oplus \mathbb{R}x$ a demostrar que $M \oplus \mathbb{R}x$ es cerrado. Para probar esto, el uso de Hahn-Banach para encontrar un almacén lineal funcional en $X$ tal que $f|_M=0$$f(x) =k\neq 0$. Desde $y_n$ converge en $X$, sabemos que $(y_n)$ es una secuencia de Cauchy en $X$, por lo que por el acotamiento $f(y_n)=kc_nx$ es una secuencia de Cauchy en $X$. Por lo tanto $c_n$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$, por lo que converge a algunos $c \in \mathbb{R}$. A continuación, $c_nx $ converge a $ cx \in X$, lo $x_n=y-c_nx$ converge a $y-cx$. Pero $M$ es cerrado y $x_n \in M$, lo $y-cx \in M$. De ello se desprende que $y=y-cx+cx \in M \oplus \mathbb{R}x$.