Definición de $L^0$ espacio

Question

De La Wikipedia:

El espacio vectorial de (clases de equivalencia) de funciones medibles en $(S, Σ, μ)$ es denotado $L^0(S, Σ, μ)$.

Esto no parece conectado a la definición de $L^p(S, Σ, μ), \forall p \in (0, \infty)$ como el conjunto de funciones medibles $f$ tal que $\int_S |f|^p d\mu <\infty$. Así que me pregunto si se me olvida alguna conexión, y por qué el uso de la notación $L^0$ si no hay conexión?

Gracias y saludos!

Answer 1

Tenga en cuenta que cuando nos restringimos a la probabilidad de medidas, entonces esta terminología tiene sentido: $L^p$ es el espacio de las (clases de equivalencia) de funciones medibles $f$ satisfactorio $$\int |f|^p<\infty.$$ Por lo tanto, $L^0$ debe ser el espacio de las (clases de equivalencia) de funciones medibles $f$ satisfactorio $$\int |f|^0=\int 1=1<\infty,$$ que es el espacio de todas las (clases de equivalencia) de funciones medibles $f$. Y es de hecho el caso.

Answer 2

Yo creo que el $L^0$ es agradable su uso. Como es bien conocido $\lim_{p \to \infty} \|\cdot \|_{L^p} = \|\cdot\|_\infty$ para determinados espacios o funciones. El caso de $L^0$ no es que bastante, pero al menos todavía agradable.

Recordar la función de distribución de $\mu$ $f$ dada por, $$\mu(\alpha) := \mu_f(\alpha) := \mu\{|f|>\alpha\}.$$

Fubini da que, $$\|f\|_{L^p}^p = p \int_0^\infty \mu_f(\alpha) \alpha^p \frac{\mathrm{d}\alpha}{\alpha}.$$

Podemos definir los espacios de Lorentz en una manera similar. Y, de hecho, para un finito medir el espacio, tenemos si $p < q$ que $$L^q \subseteq L^p.$$ Por lo tanto, es natural que se definen $L^0$ , $$L^0 = \bigcup_{p > 0} L^p.$$ Nos gustaría tener ese $L^0$ también está completo como un espacio métrico, de lo contrario la notación sería muy engañar, de hecho. Para ello necesitamos una notación de convergencia. En $L^p$ $0 < p < 1$ no es la norma que induce a la métrica, pero es $\|\cdot\|_p^p$.

Así, por $0 < p < 1$ tenemos, $$d_p(f, g) = p \int_0^\infty \mu\{|f - g|>\alpha\} \alpha^p \frac{\mathrm{d}\alpha}{\alpha}.$$

$\varepsilon$-barrios, $N^p_\varepsilon$ $f$ $L^p$ está dado por $$N^p_\varepsilon(f) = \Biggl\{g : p \int_0^\infty \mu\{|f - g|>\alpha\} \alpha^p \frac{\mathrm{d}\alpha}{\alpha} < \varepsilon \Biggr\}.$$

También se continuó, quería dar un breve comentario, pero he decidido lo contrario en su debido curso.