No parece haber un patrón de orden en la secuencia de Fibonacci:
El $5$th, $10$th, $15$th & $20$th valores son:
$$5, 55, 610, 6765$$
¿Este patrón de continuar ad infinitum? Yo he probado un par más, usando la Fórmula de Binet y parece sostener. Así:
Es cada $N$ésimo número de Fibonacci, donde $N$ es divisible por $5$ sí divisible por $5$?
Bono P: ¿hay otros patrones?
La respuesta es SÍ.
El uso de la inducción de $n=1, 2, ...$
$F_{5\cdot1}=5$ sostiene así que tenemos una base para la inducción.
Supongamos $F_{5k}=5t$ algunos $t\in\mathbb{N}$. A continuación, considere la posibilidad de $n=k+1$:
$$\begin{align}F_{5k+5}&=F_{5k+3}+F_{5k+4}\\&=2F_{5k+3}+F_{5k+2}\\&=2(F_{5k+2}+F_{5k+1})+F_{5k+1}+F_{5k}\\&=3F_{5k+1}+2F_{5k+1}+F_{5k}+2F_{5k}\\&=5F_{5k+1}+3(5t)\\&=5(F_{5k+1}+3t)\end{align}$$ This is clearly divisible by $5$ so $5|F_{5n}$ for $n\in\mathbb{N}$.
Hagamos una tabla de la secuencia de Fibonacci modulo $5$. Si podemos encontrar dos ocurrencias de los mismos dos términos modulo $5$ todos los $F_{5k}$ (entre los dos ocurrencia) ser $0$ modulo $5$, podemos comprobar esta afirmación.
$$\begin{array}{c|c|c|} \text{%#%#% to %#%#%} & \text{1} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{0} \\ \text{%#%#% to %#%#%} & \text{3} & \text{3} & \text{1} & \text{4} & \text{0} \\ \text{%#%#% to %#%#%} & \text{4} & \text{4} & \text{3} & \text{2} & \text{0} \\ \text{%#%#% to %#%#%} & \text{2} & \text{2} & \text{4} & \text{1} & \text{0} \\ \text{%#%#% to %#%#%} & \text{1} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{0} \\ \end{array}$$
Desde $F_1$ $F_5$ son los mismos que $F_6$$F_{10}$, y $F_{11}$, $F_{15}$, $F_{16}$ y $F_{20}$ todos los $F_{21}$, este ciclo se repite de forma indefinida, y por lo tanto,$F_{25}$.
Sí, si $5$ divide $n$ $5$ divide $F_n$. En realidad, también en el sentido inverso es verdadero, por lo $5$ divide $n$ si y sólo si $5$ divide $F_n$.
De manera más general, la siguiente congruencia tiene $$F_n\equiv n3^{n-1}\pmod{5}.$$ Esta congruencia implica nuestro reclamo y más que eso. Por ejemplo, se sigue que la secuencia de Fibonacci modulo $5$ es periódica con período de duración $5\cdot 4=20$ donde $5$ es el período de $n$ $4$ el período de $3^{n-1}$ (recordemos que por Fermat poco teorema $3^{k(5-1)}\equiv 1 \pmod{5}$). La lista de valores de $F_n\pmod{5}$ es $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n \pmod{20}& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 &9\\ F_n\pmod{5} &\mathbf{0}& 1& 1& 2& 3& \mathbf{0}& 3& 3& 1& 4\\ \hline n \pmod{20}&10& 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18&19\\ F_n\pmod{5} &\mathbf{0}& 4& 4& 3& 2& \mathbf{0}& 2& 2& 4& 1 \\\hline \end{array}$$
La prueba de la anterior congruencia $F_n\equiv n3^{n-1}\pmod{5}$. Por el Binet la fórmula y el teorema del binomio tenemos que $$\begin{align}F_n&=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)\\ &=\frac{1}{2^{n}\sqrt{5}}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\left((\sqrt{5})^k-(-\sqrt{5})^k\right)\\ &=\frac{1}{2^{n}\sqrt{5}}\sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n}{2j+1}\left((\sqrt{5})^{2j+1}-(-\sqrt{5})^{2j+1}\right)\\ &=\frac{1}{2^{n}\sqrt{5}}\sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n}{2j+1}(2\sqrt{5}\cdot 5^j)\\ &=\frac{1}{2^{n-1}}\sum_{j=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor}\binom{n}{2j+1}5^j \equiv 3^{n-1}\sum_{j=0}^{0}\binom{n}{2j+1}5^j\equiv n3^{n-1}\pmod{5}. \end{align}$$
Sabemos que el quinto número Fibonacci es $5$. A continuación, nos vamos a este ser $x$th número. El siguiente número es definido por la $(x+x-1)$th número. El próximo va a ser $(2x-1+x)$th. A continuación, el siguiente es $(3x-1+2x-1)$th. El siguiente es $(8x-3)$. El siguiente es $(13x-5)$. Esto significa que el $(5k+5)$th término puede ser expresado como $13\times 5k$th plazo $-5$. Este es evidentemente un múltiplo de 5, ya que el primer término con $5k=5$, $5$, es un múltiplo de a $5$.
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