Pregunta conceptual sobre el segundo teorema de isomorfismo para grupos.

Question

Tengo la siguiente duda.

Si $G$ es un grupo, $N\trianglelefteq G$$H\leq G$, sabemos, por el segundo teorema de isomorfismo que:

$N\cap H\trianglelefteq H$ $\displaystyle \frac{H}{N\cap H}\cong \frac{HN}{N}$.

Mi pregunta es... ¿Cómo funciona el grupo $(HN/N)$ parece? Quiero decir, un elemento en el que el grupo tiene la forma $(hn)N$, no es igual a $(hN)(nN)=(hN)(N)=hN$? Por lo tanto, si este es el caso, parece que este grupo es realmente isomorfo a $H/N$, pero este grupo no puede tener ningún sentido (ya $N$ pueden no estar incluidos en $H$).

Otra cosa que todavía me molesta es que la prueba del segundo teorema de isomorfismo trabaja con $NH/N$ en lugar de $HN/N$, pero en este caso no puedo encontrar el molesto concepto de problema. Realmente es $HN$ igual a $NH$?

Quiero encontrar el error en este argumento, por favor me ayudan chicos. Saludos.

Answer 1

Para su primera pregunta, observe que un elemento de$HN$ podría expresarse de varias formas diferentes:

Suponer que $hn=h'n' \in HN$. Su argumento dará$$hN=h'N, lo que significa que$HN/N$ no es exactamente igual a$H/N$ ya que algunos elementos distintos de$H/N$ coinciden en$HN/N$.

Para su segunda pregunta, la condición que convierte a$HN$ en un grupo es la igualdad$$HN=NH, para que los dos sean intercambiables.

Answer 2

Tiene razón en que$H/N$ no tiene sentido porque$H$ no necesariamente contiene$N$. Sin embargo, hay una manera de dar sentido a$H/N$:

Considere el cociente de homomorfismo$q:G \to G/N$. Entonces$q(H)$ es un subgrupo de$G/N$ y entonces$q^{-1}(q(H))$ es un subgrupo de$G$ que contiene$N$. Este subgrupo es exactamente$HN$ y$q(HN)=q(H)$. Entonces,$HN/N = q(HN)$ es un cierre al llegar a$q(H)"="H/N$.