¿Notación matemática para describir la extensión de un vector?

Question

Tengo los vectores$\vec{x} \in \mathbb{R}^4, \vec{y} \in \mathbb{R}^2, \vec{z} \in \mathbb{R}^2$, ¿cómo puedo describir que$x$ es simplemente la concatenación de$y$ y$z$?

Quiero transmitir que tomamos los elementos de$\vec{y}$ y los colocamos por encima de los elementos de$\vec{z}$ para obtener$\vec{x}$.

¡$\vec{x} = \vec{y} + \vec{z}$ está definitivamente mal!

¿Cuál es la terminología para esta operación? ¿Extensión o concatenación? Google realmente no pudo ayudar!

Answer 1

No sé de un método estándar de expresar esto, pero algunas de las cosas que he visto son $x = (y,z)$ (ver $\mathbb{R}^4$ como el producto directo de dos copias de $\mathbb{R}^2$) y $x=\begin{pmatrix} y\\z\end{pmatrix}$ (pensando en términos de bloque de matrices, suponiendo que cada vector se escribe como un vector columna).

Un no estándar pero sugerente notación podría ser $x = y\oplus z$, el pensamiento de $\mathbb{R}^4$ como la suma directa de dos copias de $\mathbb{R}^2$. Creo que no es convencional para escribir elementos de directo sumas de esta manera, pero es convencional para hacer el perfectamente análogo cosa con tensor de productos, así que me gustaría hacer en el caso de que es una buena notación.

(Para ser específicos: en la categoría de $\mathbb{R}$-álgebras, producto tensor es el subproducto. Si $X,Y$ dos $\mathbb{R}$-álgebras, su producto tensor está escrito $X\otimes Y$. Como con todos los co-productos, $X$ $Y$ cada uno tiene un canónica mapa en $X\otimes Y$ e si $x\in X, y\in Y$, el producto de la canónica de imágenes de $x,y$ $X\times Y$ escrito $x\otimes y$. Ahora traducir todo este tren de pensamiento a la categoría de $\mathbb{R}$-espacios vectoriales. En esta categoría, la suma directa es el subproducto. si $X,Y$ dos $\mathbb{R}$-espacios vectoriales, entonces su suma directa está escrito $X\oplus Y$. $X$ y $Y$ ambos tienen canónica de mapas a $X\oplus Y$. El elemento de $X\oplus Y$ el OP quiere un nombre, es la suma de la canónica de imágenes de $x\in X$$y\in Y$$X\oplus Y$. En estricta analogía con el producto tensor caso, ¿por qué no llamarlo $x\oplus y$?)