¿Cómo se prueba la inducción de transfinita en ZFC?

Question

Si uno es capaz de usar clases, me parece que la prueba de inducción de transfinita es una simple extensión de la prueba habitual de inducción (e igual a la prueba de inducción de transfinita en sets). Sin embargo, si no se puede discutir sobre las clases, ¿cómo se puede probar la inducción transfinita?

PD: Lo siento si mi pregunta es confusa. Eso sería porque mi conocimiento de la teoría de conjuntos no es lo suficientemente profundo y apenas suficiente para que me sienta cómodo con ella.

Answer 1

Si $C$ es cualquier conjunto bien ordenado, tenemos el

Principio de inducción transfinita. Deje que $P$ ser una propiedad con $$ \tag1\forall \alpha\in C \colon ( \forall \beta \in C \colon \beta < \alpha \to P( \beta )) \to P( \alpha ).$$ Luego $$ \forall \alpha\in C \colon P( \alpha ).$$

Prueba: Podemos definir el conjunto $A=\{\, \alpha\in C \mid \neg P( \alpha )\,\}$ . Supongamos que $A \ne \emptyset $ . Como $C$ está bien ordenado $A$ tiene un elemento mínimo $ \alpha $ . Por la minimización tenemos $ \forall \beta \in C \colon \beta < \alpha \to P( \beta )$ por lo tanto, desde $(1)$ tenemos $P( \alpha )$ contradiciendo $ \neg P( \alpha )$ . Por lo tanto $A= \emptyset $ que es el reclamo. $ \square $

Curiosamente, el principio funciona también si $C$ es la clase adecuada bien ordenada $ \operatorname {On}$ de todos los ordinales (que también resulta ser la aplicación más común de la inducción transfinita), aunque uno podría sentirse desalentado por el hecho de que aquí se trata de una clase adecuada:

Principio de inducción transfinita para ordinarios. Deje que $P$ ser una propiedad con $$ \tag2\forall \alpha\in \operatorname {On} \colon ( \forall \beta \in \operatorname {On} \colon \beta < \alpha \to P( \beta )) \to P( \alpha ).$$ Luego $$ \forall \alpha\in \operatorname {On} \colon P( \alpha ).$$

Prueba. Deje que $ \gamma\in \operatorname {On}$ ser un ordinal arbitrario. Entonces $ \gamma $ es en sí mismo un conjunto bien ordenado de ordinales, de modo que podemos aplicar el principio de inducción transfinita arriba al conjunto bien ordenado $C= \gamma $ . Concluimos $ \forall \beta\in\gamma\colon P( \beta )$ o más verboso $ \forall \beta\in \operatorname {On} \colon\beta\in \gamma \to P( \beta )$ . Como $ \beta\in\gamma $ es la misma que $ \beta < \gamma $ aprendemos de $(2)$ que $P( \gamma )$ . Como $ \gamma $ fue un ordinal arbitrario, obtenemos el reclamo deseado. $ \square $

Answer 2

Es simple de probar para cualquier conjunto bien ordenado. Sospecho aquí (por favor corríjame si me equivoco) que lo que realmente le interesa es lo que le permite hacer la inducción transfinita sobre la clase de todos los ordinarios, en lugar de sólo un conjunto bien ordenado.

Es cierto que no se puede usar la inducción para mostrar que alguna propiedad $ \phi $ se sostiene mostrando el conjunto de todos los ordinales de tal manera que $ \phi $ es igual al "conjunto de todos los ordinales", de la forma en que lo harías con un conjunto bien ordenado. Lo que puedes hacer, sin embargo, es probar que para cada ordinal $ \alpha $ los ordinales de abajo $ \alpha $ forman un conjunto (la implementación de von Neumann se encarga de esto muy bien), y luego muestran que si la hipótesis de la inducción de la transfinita se mantiene, $ \phi $ debe sostenerse de $ \alpha $ . Entonces puedes deducir, ya que $ \alpha $ era un ordinal arbitrario, que la propiedad de ser un ordinal implica que $ \phi $ lo tiene en sus manos.