Asumir que $| z + 1 | > 2$. Muestra esa $|z^3 + 1| > 1$.
Mi intento fue:$$|z^3 + 1| = |z + 1| |z^2 - z + 1| > 2 |z^2 - z + 1| $ $ pero estoy atascado demostrando que$|z^2 - z + 1| > \frac 1 2$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Escribir $z = -1+ w$, lo $|z+1|>2$$|w| > 2$. Entonces $z^3 + 1 = w^3 - 3 w^2 + 3 w = w (w^2 - 3 w + 3)$. El reclamo es que si $|w| > 2$, $|w^2 - 3 w + 3| > 1/2$. Si $w = r \exp(i\theta)$, $$|w^2 - 3 w + 3|^2 = r^4 - 6 r^3 \cos(\theta) + (3 + 12 \cos(\theta)^2) r^2 - 18 r \cos(\theta)+ 9$$ Llamar a ese $F(r,\theta)$. Tenemos $$ \dfrac{\partial F}{\partial \theta} = 6 r \sin(\theta) (r^2 - 4 r \cos(\theta) + 3) $$ Por lo tanto para cualquier $r > 2$ el mínimo de $F(r,\theta)$ debe ocurrir en uno de los valores de $\theta = 0, \pi$ o $\pm \arccos((r^2+3)/(4r))$ (tenga en cuenta que $0 < (r^2+3)/(4r) \le 1$ si $2 < r \le 3$). Para $r>2$ tenemos $$\eqalign{F(r,0) y= (r^2 - 3 r + 3)^2 > 1\cr F(r,\pi) y= (r^2+3r+3)^2 > 169\cr F(r,\pm \arccos((r^2+3)/(4r))) &= \dfrac{(r^2-3)^2}{4} > \dfrac{1}{4}\cr}$$ Así, el mínimo es mayor que $1/4$, el cual establece que la reclamación.
