Relación entre los grupos abelianos profinitos y los módulos$\hat{\Bbb{Z}}$

Question

Supongamos que tenemos un profinite grupo abelian $A$, entonces podemos definir una $\hat{\Bbb{Z}}$-módulo de estructura en $A$. Sin embargo, no todos los $\hat{\Bbb{Z}}$-módulo es un profinite grupo, como se puede ver por ejemplo con $\Bbb Q/\Bbb Z$. Así que mi pregunta es, ¿cuál es la relación entre profinite abelian grupos y $\hat{\Bbb{Z}}$-módulos? Dado que esta pregunta es muy vaga, he aquí algunas preguntas puntuales:

• Si tenemos dos profinte abelian grupos $A$ $B$ y un homomorphism de resumen de grupos de $f:A \to B$ ¿existe alguna relación entre la continuidad de $f$ e las $\hat{\Bbb{Z}}$-linealidad?
• ¿El $\hat{\Bbb{Z}}$-estructura del módulo en un profinite abelian grupo de determinar su topología?
• Dado un $\hat{\Bbb{Z}}$-módulo de $A$ es que hay algunos que no sean obvias criterio que decide si el $\hat{\Bbb{Z}}$-módulo de estructura proviene de un profinite la topología en $A$?

Answer 1

1) Obviamente la continuidad implica $\hat{\mathbf{Z}}$-lineal. El recíproco es falso. En efecto, considere la posibilidad de $F$ cíclico de orden $p$, un conjunto infinito $I$ y un no-continua homomorphism $F^I\to F$. Entonces está claro que es una $\hat{Z}$-módulo homomorphism.

2) Por la misma razón, la respuesta es no: todo el grupo de automorfismos de a $F^I$ $\mathbf{Z}$- módulo automorphism, y no todos preservar la topología.

Ten en cuenta que este ejemplo muestra que, para una profinite grupo abelian $A$, la topología no es siempre el límite inversa de la discreta cocientes $A/nA$. Por otro lado, es siempre el límite inversa de la $A/nA$, pero este último no puede ser discretas.

Si se restringen a abelian grupos $A$ tal que $A/nA$ es finita para todas las $n$, las cosas van mejor y, a continuación, 1,2 tener una respuesta positiva, pero incluso olvidando el $\hat{\mathbf{Z}}$-módulo structire. De hecho, si $A\to B$ $\mathbf{Z}$- módulo homomorphism, entonces también lo es la composición, $A\to B/nB$ todos los $n$. El último es trivial en el subgrupo $nA$ y por lo tanto es continua. Ya que este tiene para todos los $n$, la continuidad de la siguiente manera. También la topología en este caso especial es el límite inversa de la discreta topologías en el $A/nA$.

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Agregado: si $A,B$ son profinite abelian grupos, entonces cualquier grupo homomorphism $A\to B$ (independientemente de la topología) es una $\mathbf{Z}$-módulo homomorphism. De hecho, para demostrar que $f(tx)=tf(x)$ es suficiente para restringir al caso en el $A$ es pro-cíclica, y el argumento de la anterior obras.

Esto no es cierto cuando se $B$ es arbitraria continua $\mathbf{Z}$-módulo, por ejemplo, cuando $A=\mathbf{Z}_p$ $B$ es el grupo discreto $\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$. A continuación, por el grupo de homomorphisms $A\to B$ en este caso, el continuo es equivalente a ser un $\mathbf{Z}$-módulo homomorphism, y hay un montón de no-continua homomorphisms.