Si $C$ es una categoría con límites finitos y co-productos, entonces no es un copower functor
$\coprod :\text {Set}\to C$ que envía conjuntos de $I$ $\coprod_{i\in I} 1$y en funciones $f:I \to J,\ \coprod $ se define de la manera obvia el uso de la UMP del subproducto.
Ahora fix $I\in \text {Set}.$ El siniestro se que $C/\coprod I\cong C^I$ es una equivalencia de categorías. Yo soy de llenar los detalles de la prueba y estoy atascado en la última parte. Aquí es lo que tengo:
$1).$ Definir $F:C^I\to C/\coprod I$ $F(X_i)_i=p_x:\coprod_i X_i\to \coprod_i 1$ donde $p_x$ es la única flecha que satisface $p_x\circ i_i=i'_i\circ !$ donde $i_i$ $i'_i$ son las inyecciones: $X_i\to \coprod_i X_i$$1_i\to \coprod_i 1$, respectivamente. En flechas, $F$ se define como de costumbre a través de la UMP de los co-productos: si $(f_i)_i:X_i\to Y_i$ $F(f_i)_i$ es la única flecha: $\coprod_i X_i\to \coprod_i Y_i$ que satisface $i^Y_i\circ f_i=F(f_i)_i\circ i^X_i$. Es fácil comprobar que $F(f_i)_i$ es de hecho una de morfismos en la coma de la categoría.
$2).$ Definir $G: C/\coprod I\to C^I$ a ser el functor que envía a $\phi: c\to \coprod I$ $(c_i)_i$donde $(c_i)_i$ es definida aunque el pullback
\begin{array}{&&} c_i & \stackrel{h_i}{\to}& c\\ ! \downarrow & & \downarrow \phi \\ 1 & \stackrel{i_i}{\to} & \coprod_i 1 \end{array}
En flechas $f:\phi \to \psi, \ Gf$ es la única flecha $(\Phi_i)_i$ que satisface $h'_i\circ \Phi_i=f\circ h_i$ $!'\circ \Phi_i=!$ por cada $i\in I.$
$3).$ , Es sencillo demostrar que existe un isomorfismo natural $\epsilon:FG\to 1.$
$4).$ En el otro sentido, tomamos nota de que $GF(X_i)_i=(c_i)_i$ cuando la $(c_i)_i$ se define a través de la retirada de
\begin{array}{&&} c_i & \stackrel{h_i}{\to}& \coprod_i X_i\\ ! \downarrow & & \downarrow p_x \\ 1 & \stackrel{i_i}{\to} & \coprod_i 1 \end{array}
Si establecemos $c_i=X_i$$h_i=i'_i$, en la plaza de desplazamientos, y $if$ también es un retroceso, entonces puedo mostrar que esta asignación induce una transformación natural $\eta:1\to GF$. ¿Cómo puedo demostrar que la plaza es un retroceso?
