¿Cada semigrupo idempotente conmutativo tiene una representación como una familia de conjuntos cerrados por la unión?

Question

Considere la posibilidad de un número finito de semigroup $S$ cuyo semigroup operación $\times$ es conmutativa y cuyos elementos son idempotente.

¿Existe un número finito de unión cerrado de la familia finita de conjuntos de $\mathcal{M}$ que hay un bijection $\tau: S \rightarrow \mathcal{M}$ donde $\forall a,b \in S, \tau(a \times b) = \tau(a) \cup \tau(b) $?

Siento que esto no puede ser el caso necesariamente, ya que no han codificado cualquier información acerca "subconjuntos,contención..." en los axiomas he estipulado en las semifinales del grupo, pero desde una perspectiva puramente algebraica punto de vista parecería que caracteriza a la unión muy bien.

Answer 1

Sí. Dado $a\in S$, considerar el conjunto $I(a)=\{b\in S:ab=b\}$. Puedo reclamar que ese $I(ab)=I(a)\cap I(b)$. De hecho, si $c\in I(a)\cap I(b)$ entonces $(ab)c=a(bc)=ac=c$ lo $c\in I(ab)$. Por el contrario, si $c\in I(ab)$, a continuación, $ac=a(abc)=a^2bc=abc=c$ lo $c\in I(a)$, y de manera similar a $c\in I(b)$. También, si $I(a)=I(b)$, a continuación, $a\in I(b)$ e $b\in I(a)$ lo $a=ab=b$.

Así que, esto es casi lo que quería, pero con intersecciones en lugar de los sindicatos. Para obtener los sindicatos, usted puede tomar complementos y definir $\tau(a)=S\setminus I(a)$ y deje $\mathcal{M}$ ser la imagen de $\tau$.

Semigroups de este tipo son conocidos como (unbounded) semilattices y son un objeto básico de estudio en el fin de la teoría. Ellos a menudo son considerados como conjuntos ordenados a través de los pedidos de $a\leq b$ si $ab=b$ (o $ab=a$, dependiendo del contexto); la estructura algebraica puede ser definida en términos de la realización del pedido.