Como se muestra en la imagen para un problema geométrico plano: 
¿Podemos probar $\angle ACD=\angle ABD$ sin utilizar la noción de círculo?
Podría parecer fácil si tenemos la noción de círculo. ¿Pero si no tenemos la noción de círculo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Richard Lott
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33
Desde $C$ dibujar $CE$ tal que $$\angle BCE=\angle CBA$$ Por lo tanto, $$BE=CE$$ Entonces, como $$\angle CAB+\angle CBA=\angle ACB=90^o$$ complementos $$\angle CAB=\angle ACE$$ y $$CE=AE$$ haciendo $$BE=CE=AE$$ Así, $E$ es el punto medio de $AB$ y por la misma construcción y argumento, ya que $\triangle ABD$ como $\triangle ABC$ es cualquier triángulo rectángulo con hipotenusa $AB$ , una línea de $D$ haciendo con $DB$ un ángulo igual a $\angle DBA$ pasa por el punto medio de $AB$ , haciendo que $$BE=DE=AE$$ y por lo tanto $$\angle EAD=\angle EDA$$ 
Ahora considere $\angle ABD$ y $\angle ACD$ :
Desde $\angle ADB=90^o$ $$\angle ABD=90^o-\angle BAD$$
Y $$\angle ACD=180^o-(\angle CAD+\angle CDA)=180^o-(\angle CAE+\angle CDE+2\angle EAD)$$ es decir, por los triángulos isósceles $CEA$ y $CED$ $$\angle\ ACD=180^o-\angle ACD-2\angle EAD$$ Añadir $\angle ACD$ a ambos lados $$2\angle ACD=180^o-2\angle EAD$$ y dividiendo por $2$ $$\angle ACD=90^o-\angle EAD=90^o-\angle BAD=\angle ABD$$
Este argumento parece no descansar en ninguna verdad sobre el círculo, aunque la construcción auxiliar requiere construir ángulos iguales a los dados $\angle ABC$ y $\angle ABD$ que en el tratamiento de Euclides ( Elementos I, 23) requiere dibujar círculos. En efecto, salvo el trazado y la extensión de líneas rectas, parece que para Euclides toda construcción requiere dibujar círculos, y los argumentos basados en esas construcciones deben apelar al menos a la propiedad definitoria del círculo, que todos sus radios son iguales.
tariqsheikh
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58
Todo depende de cómo se defina el ángulo. Si pudieras proponer alguna definición alternativa, sería interesante. Pero, si quieres usar la definición estándar de ángulo, entonces estás atascado con los círculos.
Esta es la definición estándar de la medida del radián de un ángulo.
Dado un plano $P$ un punto $O$ en ese plano, y un par de puntos $X,Y \ne O$ en ese mismo plano, la medida del radián del ángulo $XOY$ se define como sigue. Sea $C$ sea el círculo de radio $1$ en $P$ centrado en $O$ . Dejemos que $x$ sea el punto donde el rayo $OX$ corta a través de $C$ . Dejemos que $y$ sea el punto donde el rayo $OY$ corta a través de $C$ . Los puntos $x,y$ cortar el círculo $C$ en dos arcos circulares $\alpha$ y $\beta$ . El ángulo $XOY$ es el mínimo de las longitudes de $\alpha$ y $\beta$ .
Como puedes ver, en esta definición los círculos están en el centro de la propia definición de ángulo. Así que si no tuvieras la noción de círculo, entonces no tendrías esta definición de ángulo.
