Pregunta sobre la derivación de la fórmula de intensidad de una rejilla de difracción

Question

En las notas que tengo, tienen una rejilla de difracción con $2N + 1$ ranuras, un ancho de ranura de $2a$ y un espacio en la rendija de $d$ . Luego dicen que la ecuación para el patrón de intensidad de difracción está dada por:

$$I = I_0 \left ( \frac { \sin ((N+ \frac {1}{2})kd \sin\theta )}{ \sin ( \frac {1}{2}kd \sin\theta )} \right )^2 \left ( \frac { \sin (ka \sin\theta )}{ka \sin\theta } \right )^2 $$

Sin embargo, no dan ninguna prueba o razón de por qué esta es la fórmula. He estado buscando en Internet una manera de justificar esta fórmula pero no puedo encontrar nada. ¿Alguien tiene una buena prueba de esto?

Answer 1

(imagen de Educación Antonina )

La amplitud de la luz $E( \theta )$ en la dirección $ \theta $ se puede calcular directamente sumando las contribuciones

• de todas las rendijas ( $n$ de $-N$ a $+N$ )
• y de las partes de cada rendija individual ( $x$ de $-a$ a $+a$ )

La diferencia de trayectoria de cada rayo contribuyente (comparado con la longitud de la trayectoria del rayo que se origina en el centro de la rejilla) es $(nd+x) \sin\theta $ . Y por lo tanto su fase es $k(nd+x) \sin\theta $ .

Sumando estas contribuciones se obtiene $$ \begin {align} E( \theta ) &= E_0 \sum_ {n=-N}^{+N} \int_ {-a}^{+a} e^{ik(nd+x) \sin\theta } \text {d}x \\ &= E_0 \left ( \sum_ {n=-N}^{+N} e^{iknd \sin\theta } \right ) \left ( \int_ {-a}^{+a} e^{ikx \sin\theta } \text {d}x \right ) \\ &= E_0 \left ( \frac { \sin ((N+ \frac {1}{2})kd \sin\theta )}{ \sin ( \frac {1}{2}kd \sin\theta )} \right ) \left ( 2a \frac { \sin (ka \sin\theta )}{ka \sin\theta } \right ) \end {align} $$

Y finalmente obtienes la intensidad tomando el cuadrado absoluto de la amplitud $$I( \theta ) = |E( \theta )|^2$$