Evaluando límites de funciones anidadas.

Question

Estoy interesado en cómo podemos aproximado de límites de funciones de la forma: $$g(x)=f\circ f\circ f\circ f\circ f\circ ...(x)$$ Si tomamos la función de $f(x)=\sin(x)$ para ejemplo tenemos: $$g(x)=\sin(\sin(\sin(\sin...(x))))$$ como lo que yo puedo decir, por $x\in\Re$ la función de $g(x)\to0$

¿Cómo puedo demostrarlo?

Mi único pensamiento es que $|\sin(x)|\le1$ e lo $|\sin(\sin(x))|\le\sin(1)<1$ Puedo continuar con esto para probar el límite?

Answer 1

W. l.G. podemos suponer $x\in[-1,1]$, si $x=0$, el caso es fácil;

si $x\in(0,1]$, a continuación, $\sin x <x$, esto implica que la secuencia{ $x_n=\sin x_{n-1}\}$ es monótona decreciente. Monótona y acotada principio implica esta secuencia tiene límite $x_0$ y satisface $$x_0=\sin x_0.$$ Esta ecuación tiene solución única $x_0=0.$

Si $x\in[-1,0)$, se puede considerar como la misma manera y obtener el mismo límite!

Answer 2

Sin la teoría del punto fijo: sea $x_{n+1} = \sin(x_n)$ , $x_0\in\Bbb R$ . Wlog podemos suponer $0\le x_0\le 1$ (¿por qué?). En cuanto a todos los $x$ en este intervalo $0\le\sin(x)\le x$ , nuestra secuencia está disminuyendo y delimitando, por lo tanto, es convergente. Y el límite solo puede ser ...