No hay una función$f:\Bbb R\to \Bbb R$ tal que$f(y)\le a f(x)-b\ln{(y-x)},\forall x<y$

Question

Deje $a>1,b>0$ . Demuestre que no hay una función $f:\Bbb R\to\Bbb R$ tal que $$f(y)\le af(x)-b\ln{(y-x)},\forall x<y$ $

Algunos de mis pensamientos: Vamos a $y=x+1$ , entonces tenemos $$f(x+1)\le af(x)$ $, así que tenemos $$f(x+n)\le af(x+n-1)\le a^2f(x+n-2)\le\cdots \le a^{n}f(x)$ $

Answer 1

Si elegimos un constante $x$, se puede ver a partir de la condición, de que los valores de $f(y)$ puede ser arbitrariamente pequeño como $y\to\infty$.

Por lo tanto, vamos a elegir a$x_1\in\mathbb R$ tal que $f(x_1)<-c_1$ por una constante $c_1>0$.

Podemos definir de forma recursiva $x_{k+1}:= x_k+2^{-k}$. Luego de que la condición se observa que $$ f(x_{k+1}) \leq f(x_k) - b \ln(2^{-k}) = f(x_k) + k b \ln 2. $$

Ahora es el momento de elegir nuestro constante $c_1$. Primero definimos $\gamma:=2b \ln(2)/(a-1)$. A continuación, definimos $c_1:= (b\ln(2)+\gamma)/(a-1)$. De forma recursiva, definimos $c_{k+1}:= a c_k-kb\ln(2)$.

Por inducción, uno puede mostrar que $$ kb\ln(2) +\gamma \leq (a-1) c_k $$ sostiene. De ello se sigue que $$ c_{k+1} \geq \gamma+ c_k $$ sostiene. En particular, se ha $c_k\to\infty$.

De nuevo, por inducción se puede demostrar que $$ f(x_k)\leq - c_k $$ sostiene. Por lo tanto $f(x_k)\to-\infty$ como $k\to\infty$.

Por último, consideramos que $y:=x_1+2$. Tenga en cuenta que $y\geq x_k+1$ para todos los $k$. Luego, por la principal condición que $$ f(y) \leq f(x_k) - b \ln(y-x_k) \leq f(x_k) \leq -un c_k \\infty $$ Por lo tanto $f(y)$ tiene que ser arbitrariamente pequeño, lo cual es una contradicción con el ser real valorados.

Answer 2

Desde $x<y \Rightarrow y=x+h$ . Así que la ecuación se convierte en:

$$f(x+h)\leq af(x)-b\ln(h)$$ $$f(x+h)-af(x)\leq -b\ln(h)$$ $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{(a-1)f(x)}{h}\leq -\frac{b\ln(h)}{h}$$ $$\lim_{h \to 0^+} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{h \to 0^+}\frac{(a-1)f(x)}{h}\leq \lim_{h \to 0^+}-\frac{b\ln(h)}{h}$$ $$f'(x)-\lim_{h \to 0^+}\frac{(a-1)f(x)}{h}\leq -\infty$$

[Pido disculpas por la notación]

Esto significa que si la función es continua en $\Bbb{R}$, a continuación, $\lim_{h \to 0^+}\frac{(a-1)f(x)}{h}$ ha $+\infty$ (condición necesaria), pero esto implica que $f(x)$ tiene que ser siempre positivo. Esto es absurdo, porque niega la hyphotesis que el codominio es $\Bbb{R}$

:)