Existencia de una acción de $S^1$ en un haz vectorial y cálculo de sus clases características

Question

La existencia de una acción $S^1$ a veces nos ayuda en el cálculo de invariantes topológicos. Por ejemplo, podemos calcular la característica de Euler observando el conjunto de puntos fijos (ver expresión de la característica de Euler en términos del número de puntos fijos de una acción $\mathbb{S}^1$). Si tenemos la suerte de tener una acción de $T^n$ en una variedad simpléctica de dimensión $2n$ y la acción es Hamiltoniana, entonces podemos calcular los números de Betti y clases de Chern a partir de la imagen del mapa momento.

Quiero entender el haz normal de un subconjunto invariante. Por lo tanto, me gustaría calcular sus clases características. Me pregunto si hay alguna manera de explotar la existencia de una acción toroidal para calcular fácilmente estos invariantes, más precisamente: denotemos como $T^n$ al toro n-dimensional $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$.

Sea $\nu_S\to S$ un vecindario normal/invariante de un subconjunto invariante $S\subset M$ de una variedad $M$ con una acción de $T^n$. Entonces la acción de $T^n$ en $\nu_s$ preserva las fibras y es lineal con algunos pesos $w_1,\dots, w_k\in \mathbb{R}^n$. ¿Podemos calcular las clases características de $\nu_S$ a partir de los pesos?

Más generalmente

¿La existencia de una acción de $T^n$ en un haz vectorial nos ayuda en su clasificación/cálculo de clases características?

Answer 1

La respuesta a tu primera pregunta es no, no puedes computar clases características a partir de los pesos. En lo que sigue asumo que estás familiarizado/a con un poco de geometría compleja/algebraica.

Sea $C$ una superficie de Riemann de género $g$, y $L$ cualquier fibrado en línea complejo sobre $C$. (Topológicamente habrá un fibrado en línea complejo por cada elemento en $H^{2}(C,\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$.)

Considera $X = \mathbb{P}_{C}(L \oplus \mathcal{O})$ (es decir, la proyectivización del fibrado vectorial complejo de rango 2 $L \oplus \mathcal{O}$ sobre $C$).

Hay una acción Hamiltoniana natural de $S^{1}$ en este espacio dada por $z.[v_{1},v_{2}] = [v_{1},zv_{2}] (que está bien definida porque el segundo factor es trivial). Además, el subconjunto $S$ donde $v_{2}=0$ es isomorfo a $C$, y consiste en puntos fijos para la acción de $S^{1}$. Además, la acción tiene peso $1$ a lo largo de $S$ (ya que la acción es semifree). Se puede ver que el fibrado normal de $S$ en $X$ es isomorfo a $L$. Dado que el grado de $L$ puede tomar cualquier valor aquí, este ejemplo muestra que el grado del fibrado normal definitivamente no se puede recuperar a partir del peso de la acción.

Un resumen de lo que es cierto (al menos para una subvariedad fija para acciones Hamiltonianas de $S^{1}$) es:

1. La clase del fibrado normal más los pesos definen un entorno de la subvariedad fija hasta la equivariante simpléctica.

2. Existen ciertos teoremas de localización global, casi todos provenientes del teorema de localización de Atiyah-Bott, que afirman que la suma de ciertas combinaciones de pesos y clases características de los fibrados normales de subvariedades fijas, sumadas sobre TODOS los datos de puntos fijos, son iguales a ciertas clases características del espacio original.