Que $G$ ser un grupo finito y $H$ un subgrupo de índice $p$, donde $p$ es una privilegiada. Si $\operatorname{gcd}(|H|, p-1)=1$, entonces el $H$ debe ser normal. ¿Alguien tiene una prueba rápida de esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Jeff Leonard
Puntos
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Nota: Como se señaló en los comentarios de esta respuesta es que falta un detalle crucial, y por desgracia no tengo idea de si puede ser rescatado.
Este es un poco más elementales manera de mostrar esto:
Suponga $H$ no es normal. Entonces claramente $N_G(H) = H$ $G$ actúa en el $|G:H| = p$ conjugados de $H$ por conjugación. El estabilizador de la $H$ en virtud de esta acción es $H$, que luego actúa sobre el otro $p-1$ conjugados.
La órbita de un $gHg^{-1}$ el marco de esta acción se compone de todos los $g'Hg'^{-1}$$g'\in Hg$, por lo que todas las órbitas tienen el mismo tamaño. Por otro lado, sus tamaños de dividir el orden de $H$, lo cual es una contradicción ya que el $gcd(|H|,p-1) = 1$
